5.12A componente y da velocidade em um campo de fluxo constante e incompressível no plano x y é Vy=-B x y^3, onde B=0,2 m^-1 s^-1, e x e y são medidos em metros. Encontre a componente x da velocidade mais simples para este campo de fluxo. Encontre a equação das linhas de corrente para este fluxo. Resposta: Vx=3 / 2 B x^2 y^2 ; C=x y^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de fluxo constante e incompressível no plano $ xy $. A componente $ y $ da velocidade é dada por $ V_{y} = -B x y^{3} $, com $ B = 0,2 , m^{-1} s^{-1} $. Nosso objetivo é encontrar:
  1. A componente $ x $ da velocidade ($ V_{x} $).
  2. A equação das linhas de corrente para esse fluxo.
Para resolver, vamos usar conceitos de campos de fluxo incompressível e equações de continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo de fluxo incompressível. Em termos simples, isso quer dizer que a divergência do campo de velocidade é zero. Matematicamente, isso é expresso como:
partial Vxpartial x + partial Vypartial y = 0
Essa equação nos ajuda a relacionar as componentes $ V_{x} $ e $ V_{y} $.

Passo 3

Sabemos que $ V_{y} = -B x y^{3} $. Vamos calcular a derivada parcial de $ V_{y} $ em relação a $ y $:
Vy = -B x y^3
Agora, substituímos essa derivada na equação de incompressibilidade:
Vy

Passo 4

Vamos resolver para $ \frac{\partial V_{x}}{\partial x} $:
partial Vxpartial x
Agora, para encontrar $ V_{x} $, precisamos integrar essa expressão em relação a $ x $:
partial Vxpartial x = 3 B x y^2

Passo 5

Integrando, temos:
Vx = 3 B y^2 integral x , dx = 3 B y^2 cdot x^22 + C(y)
Onde $ C(y) $ é a constante de integração que pode depender de $ y $. Como o campo de fluxo é incompressível e estamos procurando a forma mais simples para $ V_{x} $, podemos considerar $ C(y) = 0 $. Portanto:
C(y)

Passo 6

Agora, vamos encontrar a equação das linhas de corrente. As linhas de corrente são curvas no campo de fluxo ao longo das quais a velocidade é tangente à curva em cada ponto. Matemáticamente, a equação das linhas de corrente é dada por:
dydx = VyVx
Substituindo $ V_{y} $ e $ V_{x} $:
Vy

Passo 7

Vamos separar as variáveis e integrar:
dyy = -23 dxx
Integrando ambos os lados:
ln y = -23 ln x + C
Onde $ C $ é a constante de integração. Podemos reescrever isso como:
C
Usando propriedades dos logaritmos:
ln y + 23 ln x = C
Exponenciando ambos os lados:
ln (x^2/3 y) = C
Onde $ K $ é uma nova constante. Resolvendo para $ K $:
x^2/3 y = e^C = K
Ou, de forma equivalente:
K

Resposta

A componente $ x $ da velocidade é $ V_{x} = \dfrac{3}{2} B x^{2} y^{2} $ e a equação das linhas de corrente é $ C = x y^{3/2} $.

Exercícios relacionados