5.12A componente
da velocidade em um campo de fluxo constante e incompressível no plano
é
, onde
, e
e y são medidos em metros. Encontre a componente
da velocidade mais simples para este campo de fluxo. Encontre a equação das linhas de corrente para este fluxo. Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de fluxo constante e incompressível no plano $ xy $. A componente $ y $ da velocidade é dada por $ V_{y} = -B x y^{3} $, com $ B = 0,2 , m^{-1} s^{-1} $. Nosso objetivo é encontrar:
- A componente $ x $ da velocidade ($ V_{x} $).
- A equação das linhas de corrente para esse fluxo.
Para resolver, vamos usar conceitos de campos de fluxo incompressível e equações de continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo de fluxo incompressível. Em termos simples, isso quer dizer que a divergência do campo de velocidade é zero. Matematicamente, isso é expresso como:
Essa equação nos ajuda a relacionar as componentes $ V_{x} $ e $ V_{y} $.
Passo 3
Sabemos que $ V_{y} = -B x y^{3} $. Vamos calcular a derivada parcial de $ V_{y} $ em relação a $ y $:
Agora, substituímos essa derivada na equação de incompressibilidade:
Passo 4
Vamos resolver para $ \frac{\partial V_{x}}{\partial x} $:
Agora, para encontrar $ V_{x} $, precisamos integrar essa expressão em relação a $ x $:
Passo 5
Integrando, temos:
Onde $ C(y) $ é a constante de integração que pode depender de $ y $. Como o campo de fluxo é incompressível e estamos procurando a forma mais simples para $ V_{x} $, podemos considerar $ C(y) = 0 $. Portanto:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a equação das linhas de corrente. As linhas de corrente são curvas no campo de fluxo ao longo das quais a velocidade é tangente à curva em cada ponto. Matemáticamente, a equação das linhas de corrente é dada por:
Substituindo $ V_{y} $ e $ V_{x} $:
Passo 7
Vamos separar as variáveis e integrar:
Integrando ambos os lados:
Onde $ C $ é a constante de integração. Podemos reescrever isso como:
Usando propriedades dos logaritmos:
Exponenciando ambos os lados:
Onde $ K $ é uma nova constante. Resolvendo para $ K $:
Ou, de forma equivalente:
Resposta
A componente $ x $ da velocidade é $ V_{x} = \dfrac{3}{2} B x^{2} y^{2} $ e a equação das linhas de corrente é $ C = x y^{3/2} $.