13.151 Uma bola de 125 g que se move a uma velocidade de
atinge uma placa de 250 g sustentada por molas. Admitindo que não haja perda de energia no impacto, determine (
) a velocidade da bola imediatamente após o impacto, (b) o impulso da força exercida pela placa sobre a bola.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) a velocidade da bola imediatamente após o impacto;
- (b) o impulso da força exercida pela placa sobre a bola.
Informações fornecidas (peguei esses valores da figura):
- massa da bola:
; - massa da placa:
; - velocidade inicial da bola (antes do impacto):
(sentido para baixo); - velocidade inicial da placa:
(em repouso); - é dito que não há perda de energia no impacto (ou seja, o impacto é perfeitamente elástico).
Observação sobre sinais: vou adotar o sentido para baixo como positivo; sinais negativos significarão movimento para cima.
Passo 2
Quais leis físicas vamos usar e por quê (explicação didática):
- Conservação do momento linear em uma colisão isolada em uma dimensão: a soma dos momentos antes do choque é igual à soma dos momentos depois do choque. Escrevendo isso com as grandezas:
onde
e
são as velocidades após o choque da bola e da placa, respectivamente.
- Conservação da energia cinética (porque o enunciado diz “sem perda de energia”): a soma das energias cinéticas antes é igual à soma depois:
Explicando em palavrinhas: momentum cuida da quantidade de movimento (massa vezes velocidade) e energia cinética cuida da energia do movimento; em colisões elásticas ambas se conservam.
Passo 3
Uma relação útil para colisões elásticas (e sua derivação curta):
- Da conservação do momento temos
- Da conservação da energia, subtraindo termos e fatorando as diferenças de quadrados:
Fatorando
e
e dividindo a equação de energia pela equação de momento (onde possível), obtém-se após simplificação
Rearranjando:
Interpretação física simples: em uma colisão elástica unidimensional, a velocidade relativa entre as partículas inverte de sinal (a velocidade relativa final é a negativa da relativa inicial).
Passo 4
Resolver as duas equações (com
):
- Usando
(porque ) temos
- Substituindo isso na conservação do momento
Organizando,
Portanto a velocidade da placa imediatamente após o choque é
E a velocidade da bola é
Essas fórmulas são padrões para colisões elásticas 1D com
; foram obtidas passo a passo acima.
Passo 5
Substituir os valores numéricos (sem usar calculadora, mostrando os passos):
- Primeiro o denominador comum:
- Calcular
:
Note que
(dividindo numerador e denominador por 125). Logo
- Agora
:
Passo 6
Interpretação do resultado das velocidades:
-
significa que a bola, que vinha para baixo, inverteu o sentido e passou a subir com velocidade de módulo . -
significa que a placa saiu para baixo com imediatamente após o impacto.
Passo 7
Calcular o impulso da força exercida pela placa sobre a bola:
- Impulso
é a variação do momento linear da bola:
Substituindo:
O sinal negativo, lembrando que escolhemos para baixo como positivo, indica que o impulso da placa sobre a bola é dirigido para cima; em módulo o impulso vale
para cima.
Passo 8
Resumo didático-final (para levar para a prova):
- Use conservação do momento e da energia cinética (colisão elástica) ou a relação de que a velocidade relativa se inverte
para simplificar a resolução; - Resolva o sistema (momento + relação de velocidades) para obter
e ; - Para o impulso, calcule a variação do momento da partícula de interesse:
.
Resposta
(a)
(b)
(b)