13.151 Uma bola de 125 g que se move a uma velocidade de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} atinge uma placa de 250 g sustentada por molas. Admitindo que não haja perda de energia no impacto, determine ( a ) a velocidade da bola imediatamente após o impacto, (b) o impulso da força exercida pela placa sobre a bola.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) a velocidade da bola imediatamente após o impacto;
  • (b) o impulso da força exercida pela placa sobre a bola.
Informações fornecidas (peguei esses valores da figura):
  • massa da bola: m_1 = 125\\ \text{g} = 0,125\\ \text{kg};
  • massa da placa: m_2 = 250\\ \text{g} = 0,250\\ \text{kg};
  • velocidade inicial da bola (antes do impacto): u_1 = 3\\ \mathrm{m/s} (sentido para baixo);
  • velocidade inicial da placa: u_2 = 0\\ \mathrm{m/s} (em repouso);
  • é dito que não há perda de energia no impacto (ou seja, o impacto é perfeitamente elástico).
Observação sobre sinais: vou adotar o sentido para baixo como positivo; sinais negativos significarão movimento para cima.

Passo 2

Quais leis físicas vamos usar e por quê (explicação didática):
  • Conservação do momento linear em uma colisão isolada em uma dimensão: a soma dos momentos antes do choque é igual à soma dos momentos depois do choque. Escrevendo isso com as grandezas:
m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2,
onde v_1 e v_2 são as velocidades após o choque da bola e da placa, respectivamente.
  • Conservação da energia cinética (porque o enunciado diz “sem perda de energia”): a soma das energias cinéticas antes é igual à soma depois:
\tfrac{1}{2}m_1 u_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 u_2^2 = \tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2.
Explicando em palavrinhas: momentum cuida da quantidade de movimento (massa vezes velocidade) e energia cinética cuida da energia do movimento; em colisões elásticas ambas se conservam.

Passo 3

Uma relação útil para colisões elásticas (e sua derivação curta):
  • Da conservação do momento temos
m_1(u_1 - v_1)=m_2(v_2 - u_2).
  • Da conservação da energia, subtraindo termos e fatorando as diferenças de quadrados:
m_1(u_1^2 - v_1^2)=m_2(v_2^2 - u_2^2).
Fatorando u_1^2-v_1^2=(u_1-v_1)(u_1+v_1) e v_2^2-u_2^2=(v_2-u_2)(v_2+u_2) e dividindo a equação de energia pela equação de momento (onde possível), obtém-se após simplificação
u_1 + v_1 = v_2 + u_2.
Rearranjando:
v_1 - v_2 = -(u_1 - u_2).
Interpretação física simples: em uma colisão elástica unidimensional, a velocidade relativa entre as partículas inverte de sinal (a velocidade relativa final é a negativa da relativa inicial).

Passo 4

Resolver as duas equações (com u_2=0):
  • Usando v_1 - v_2 = -u_1 (porque u_2=0) temos
v_1 = v_2 - u_1.
  • Substituindo isso na conservação do momento
m_1 u_1 = m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 (v_2 - u_1) + m_2 v_2.
Organizando,
m_1 u_1 = m_1 v_2 - m_1 u_1 + m_2 v_2
m_1 u_1 + m_1 u_1 = v_2 (m_1 + m_2)
2 m_1 u_1 = (m_1 + m_2) v_2.
Portanto a velocidade da placa imediatamente após o choque é
v_2 = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2}\,u_1.
E a velocidade da bola é
v_1 = v_2 - u_1 = \left(\frac{2 m_1}{m_1 + m_2}-1\right) u_1 = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,u_1.
Essas fórmulas são padrões para colisões elásticas 1D com u_2=0; foram obtidas passo a passo acima.

Passo 5

Substituir os valores numéricos (sem usar calculadora, mostrando os passos):
  • Primeiro o denominador comum:
m_1 + m_2 = 0,125 + 0,250 = 0,375\\ \text{kg}.
  • Calcular v_2:
v_2 = \frac{2\cdot 0,125}{0,375}\cdot 3 = \frac{0,250}{0,375}\cdot 3.
Note que \dfrac{0,250}{0,375}=\dfrac{250}{375}=\dfrac{2}{3} (dividindo numerador e denominador por 125). Logo
v_2 = \frac{2}{3}\cdot 3 = 2\\ \mathrm{m/s}.
  • Agora v_1:
v_1 = v_2 - u_1 = 2 - 3 = -1\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação do resultado das velocidades:
  • v_1 = -1\\ \mathrm{m/s} significa que a bola, que vinha para baixo, inverteu o sentido e passou a subir com velocidade de módulo 1\\ \mathrm{m/s}.
  • v_2 = 2\\ \mathrm{m/s} significa que a placa saiu para baixo com 2\\ \mathrm{m/s} imediatamente após o impacto.

Passo 7

Calcular o impulso da força exercida pela placa sobre a bola:
  • Impulso J é a variação do momento linear da bola:
J = \Delta p_1 = m_1(v_1 - u_1).
Substituindo:
v_1 - u_1 = -1 - 3 = -4\\ \mathrm{m/s},
J = 0,125\cdot(-4) = -0,5\\ \mathrm{N\cdot s}.
O sinal negativo, lembrando que escolhemos para baixo como positivo, indica que o impulso da placa sobre a bola é dirigido para cima; em módulo o impulso vale 0,5\\ \mathrm{N\cdot s} para cima.

Passo 8

Resumo didático-final (para levar para a prova):
  • Use conservação do momento e da energia cinética (colisão elástica) ou a relação de que a velocidade relativa se inverte v_1-v_2=-(u_1-u_2) para simplificar a resolução;
  • Resolva o sistema (momento + relação de velocidades) para obter v_1 e v_2;
  • Para o impulso, calcule a variação do momento da partícula de interesse: J=m\,(v-u).

Resposta

(a) v_1 = -1\\ \mathrm{m/s}
(b) J = -0,5\\ \mathrm{N\cdot s}

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