4.3 A jardınera do Problema 4.2 deseja transportar um segundo saco de fertilizante de 250 N ao mesmo tempo que o primeiro. Determine a máxima distância horizontal admissível do eixo A do carrinho de mão até o centro de gravidade do segundo saco se ela pode carregar somente 75 N em cada braço.

Passo 1

O enunciado (o que foi dado) e o que ele pede:
  • Foi dado que o segundo saco tem peso 250\\ \text{N}.
  • Foi dado que a jardineira pode “carregar somente 75\\ \text{N} em cada braço” — ou seja, a força máxima que cada mão/ braço pode exercer verticalmente é 75\\ \text{N}.
  • Pede-se: determinar a máxima distância horizontal admissível do eixo A do carrinho de mão até o centro de gravidade do segundo saco.
Informações importantes que NÃO foram fornecidas no enunciado enviado (e que são necessárias para um cálculo numérico):
  • A posição (distância horizontal ao eixo A) e o peso do(s) outros corpos já no carrinho (por exemplo o primeiro saco do Problema 4.2), se houver.
  • O peso próprio do carrinho (caso relevante) e a sua distância ao eixo A.
  • A distância horizontal do eixo A até o ponto de aplicação das forças nas alças (ou seja, a distância entre A e cada braço/pegador), que vou chamar de distância das mãos d_h.
    Sem esses dados numéricos não é possível calcular um valor numérico final. A resolução a seguir mostra o método completo e a fórmula que se usa na prova; depois explico exatamente que dados faltam para obter o número.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (aula curta sobre momentos/torques):
  • Em equilíbrio estático do carrinho (situação usual para transportar carga), a soma algébrica dos momentos (torques) em torno de qualquer ponto é zero. É conveniente escolher o eixo da roda A como ponto de pivô porque a reação vertical no eixo passa por A e seu momento em torno de A é zero.
  • Momento (torque) de uma força em relação a A: se uma força vertical F atua à distância horizontal x do eixo A, o momento relativo a A é M = F \cdot x. Signo: tomar momentos que tendem a girar no sentido horário como positivos e no sentido anti-horário como negativos (ou vice‑versa), contanto que seja consistente.
  • As forças que criam momentos em torno de A são: pesos (que atuam para baixo) localizados a certas distâncias, e as forças que a jardineira aplica nas alças (para cima) a uma distância d_h.

Passo 3

Definição das variáveis (clareza máxima):
  • W_2 = 250\\ \text{N}: peso do segundo saco (dado).
  • x_2: distância horizontal do eixo A até o centro de gravidade do segundo saco (é o que queremos encontrar).
  • F_h: força vertical que cada braço (cada mão) aplica. Pelo enunciado, F_h = 75\\ \text{N}.
  • d_h: distância horizontal do eixo A até o ponto de aplicação de cada mão (distância das alças ao eixo). Esse valor NÃO foi fornecido.
  • Para quaisquer outras cargas presentes (por exemplo o primeiro saco, o próprio carrinho), denotar seus pesos por W_i e suas distâncias ao eixo por x_i, para i = 1,3,4,\dots. Esses W_i e x_i também não foram fornecidos (provêm do Problema 4.2 / figura).
  • Observação de simetria: há duas mãos, então força total aplicada pelas mãos é 2F_h, todas a mesma distância d_h do eixo (pressuposição usual se ambas seguram nas alças).

Passo 4

Escrever a equação de equilíbrio de momentos em torno de A e explicar cada termo:
  • Escolhendo momentos positivos no sentido horário (apenas convenção), somamos momentos causados pelos pesos (que tendem a girar o carrinho no sentido horário se estão à frente do eixo) e subtraímos os momentos produzidos pelas forças das mãos (que tendem a girar no sentido oposto), e impomos igualdade a zero.
  • A equação geral de equilíbrio de momentos em torno de A é:
\sum (\text{momentos}) = 0.
  • Escrevendo explicitamente (peso para baixo positiva no sentido horário):
\sum_{i} W_i x_i + W_2 x_2 - 2F_h d_h = 0,
onde \sum_{i} W_i x_i representa a soma dos momentos das outras cargas (incluindo o primeiro saco e o peso da carroceria) em torno de A. Nesta equação o termo 2F_h d_h é o momento estabilizador gerado pelas duas mãos (duas forças para cima) a distância d_h.

Passo 5

Resolver algebricamente para x_2 (passo a passo, sem pular):
  • Da equação do Passo 4 isolamos x_2:
W_2 x_2 = 2F_h d_h - \sum_{i} W_i x_i.
  • Dividindo por W_2:
x_2 = \frac{2F_h d_h - \sum_{i} W_i x_i}{W_2}.
Explicando cada parte:
  • O numerador 2F_h d_h é o momento máximo disponível das mãos para equilibrar cargas (força total das mãos vezes sua alavanca).
  • O termo \sum_{i} W_i x_i é o momento já “consumido” pelas demais cargas existentes à frente do eixo; esse momento reduz a margem restante para o segundo saco.
  • Dividindo pelo peso W_2 convertemos momento residual em distância permissível x_2.

Passo 6

Casos especiais e interpretação prática (como usar na prova):
  • Se NÃO houver outras cargas além do segundo saco (i.e., nenhum W_i), então \sum_{i} W_i x_i = 0 e a fórmula simplifica para
x_2^{\max} = \frac{2F_h d_h}{W_2}.
Isto é intuitivo: quanto mais longe as mãos ( d_h) e quanto maior a força das mãos ( F_h), mais longe pode ficar o saco.
  • Se houver já um primeiro saco ou o próprio carrinho com momento \sum_{i} W_i x_i, esse valor diminui a distância máxima permitida para o segundo saco, porque parte do “momento disponível” das mãos já é usado para equilibrar essas outras cargas.
  • Importante na prova: identificar todas as forças verticais que produzem momento e medir corretamente suas distâncias horizontais ao eixo A. Escolher A como ponto de momento frequentemente simplifica porque a reação do eixo some da equação.

Passo 7

Conclusão objetiva sobre a possibilidade de obter um valor numérico e o que falta:
  • Não é possível dar um valor numérico para a distância pedida com os dados que você me passou, porque faltam:
    • a distância das alças ao eixo d_h, e
    • as massas/posições (pesos W_i e distâncias x_i) de quaisquer outras cargas / do primeiro saco / do carrinho que também contribuem para momentos.
  • A resposta prática que você deve entregar na prova, caso esses dados apareçam ou estejam na figura do Problema 4.2, é obter x_2 pela fórmula do Passo 5 e substituir os números.

Resposta

x_2 \;=\; \frac{2F_h d_h - \displaystyle\sum_{i} W_i x_i}{W_2}
(em particular, com F_h=75\\ \text{N} e W_2=250\\ \text{N}, usar essa fórmula substituindo d_h e os termos \sum_{i} W_i x_i pelos valores numéricos do resto do problema)

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