4.3 A jardınera do Problema 4.2 deseja transportar um segundo saco de fertilizante de 250 N ao mesmo tempo que o primeiro. Determine a máxima distância horizontal admissível do eixo
do carrinho de mão até o centro de gravidade do segundo saco se ela pode carregar somente 75 N em cada braço.
Passo 1
O enunciado (o que foi dado) e o que ele pede:
- Foi dado que o segundo saco tem peso
. - Foi dado que a jardineira pode “carregar somente
em cada braço” — ou seja, a força máxima que cada mão/ braço pode exercer verticalmente é . - Pede-se: determinar a máxima distância horizontal admissível do eixo
do carrinho de mão até o centro de gravidade do segundo saco.
Informações importantes que NÃO foram fornecidas no enunciado enviado (e que são necessárias para um cálculo numérico):
- A posição (distância horizontal ao eixo
) e o peso do(s) outros corpos já no carrinho (por exemplo o primeiro saco do Problema 4.2), se houver. - O peso próprio do carrinho (caso relevante) e a sua distância ao eixo
. - A distância horizontal do eixo
até o ponto de aplicação das forças nas alças (ou seja, a distância entre e cada braço/pegador), que vou chamar de distância das mãos .
Sem esses dados numéricos não é possível calcular um valor numérico final. A resolução a seguir mostra o método completo e a fórmula que se usa na prova; depois explico exatamente que dados faltam para obter o número.
Passo 2
Conceito físico que vamos usar (aula curta sobre momentos/torques):
- Em equilíbrio estático do carrinho (situação usual para transportar carga), a soma algébrica dos momentos (torques) em torno de qualquer ponto é zero. É conveniente escolher o eixo da roda
como ponto de pivô porque a reação vertical no eixo passa por e seu momento em torno de é zero. - Momento (torque) de uma força em relação a
: se uma força vertical atua à distância horizontal do eixo , o momento relativo a é . Signo: tomar momentos que tendem a girar no sentido horário como positivos e no sentido anti-horário como negativos (ou vice‑versa), contanto que seja consistente. - As forças que criam momentos em torno de
são: pesos (que atuam para baixo) localizados a certas distâncias, e as forças que a jardineira aplica nas alças (para cima) a uma distância .
Passo 3
Definição das variáveis (clareza máxima):
-
: peso do segundo saco (dado). -
: distância horizontal do eixo até o centro de gravidade do segundo saco (é o que queremos encontrar). -
: força vertical que cada braço (cada mão) aplica. Pelo enunciado, . -
: distância horizontal do eixo até o ponto de aplicação de cada mão (distância das alças ao eixo). Esse valor NÃO foi fornecido. - Para quaisquer outras cargas presentes (por exemplo o primeiro saco, o próprio carrinho), denotar seus pesos por
e suas distâncias ao eixo por , para . Esses e também não foram fornecidos (provêm do Problema 4.2 / figura). - Observação de simetria: há duas mãos, então força total aplicada pelas mãos é
, todas a mesma distância do eixo (pressuposição usual se ambas seguram nas alças).
Passo 4
Escrever a equação de equilíbrio de momentos em torno de
e explicar cada termo:
- Escolhendo momentos positivos no sentido horário (apenas convenção), somamos momentos causados pelos pesos (que tendem a girar o carrinho no sentido horário se estão à frente do eixo) e subtraímos os momentos produzidos pelas forças das mãos (que tendem a girar no sentido oposto), e impomos igualdade a zero.
- A equação geral de equilíbrio de momentos em torno de
é:
- Escrevendo explicitamente (peso para baixo positiva no sentido horário):
onde
representa a soma dos momentos das outras cargas (incluindo o primeiro saco e o peso da carroceria) em torno de
. Nesta equação o termo
é o momento estabilizador gerado pelas duas mãos (duas forças para cima) a distância
.
Passo 5
Resolver algebricamente para
(passo a passo, sem pular):
- Da equação do Passo 4 isolamos
:
- Dividindo por
:
Explicando cada parte:
- O numerador
é o momento máximo disponível das mãos para equilibrar cargas (força total das mãos vezes sua alavanca). - O termo
é o momento já “consumido” pelas demais cargas existentes à frente do eixo; esse momento reduz a margem restante para o segundo saco. - Dividindo pelo peso
convertemos momento residual em distância permissível .
Passo 6
Casos especiais e interpretação prática (como usar na prova):
- Se NÃO houver outras cargas além do segundo saco (i.e., nenhum
), então e a fórmula simplifica para
Isto é intuitivo: quanto mais longe as mãos (
) e quanto maior a força das mãos (
), mais longe pode ficar o saco.
- Se houver já um primeiro saco ou o próprio carrinho com momento
, esse valor diminui a distância máxima permitida para o segundo saco, porque parte do “momento disponível” das mãos já é usado para equilibrar essas outras cargas. - Importante na prova: identificar todas as forças verticais que produzem momento e medir corretamente suas distâncias horizontais ao eixo
. Escolher como ponto de momento frequentemente simplifica porque a reação do eixo some da equação.
Passo 7
Conclusão objetiva sobre a possibilidade de obter um valor numérico e o que falta:
- Não é possível dar um valor numérico para a distância pedida com os dados que você me passou, porque faltam:
- a distância das alças ao eixo
, e - as massas/posições (pesos
e distâncias ) de quaisquer outras cargas / do primeiro saco / do carrinho que também contribuem para momentos.
- a distância das alças ao eixo
- A resposta prática que você deve entregar na prova, caso esses dados apareçam ou estejam na figura do Problema 4.2, é obter
pela fórmula do Passo 5 e substituir os números.
Resposta
(em particular, com
e
, usar essa fórmula substituindo
e os termos
pelos valores numéricos do resto do problema)