7.13 Se um caminhão está fazendo uma curva a 24 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, determine a velocidade do suporte do diferencial em rpm. O raio da curva é 30 m até o centro do caminhão e a bitola é 1,80 \mathrm{~m}. O diâmetro externo dos pneus é 90 cm .

Passo 1

O enunciado dá um caminhão que faz uma curva a \,24\\ \mathrm{km/h}, com raio da curva até o centro do veículo de 30\\ \mathrm{m}, bitola de 1,80\\ \mathrm{m} e pneus de diâmetro externo 0,90\\ \mathrm{m}. Precisamos determinar a rotação do suporte do diferencial (a carcaça que gira junto com os satélites) em rpm. Usaremos cinemática de rotação em curva e a propriedade do diferencial de girar à média aritmética das rotações das rodas.

Passo 2

Convertendo a velocidade do centro do caminhão para metros por segundo e calculando a velocidade angular em torno do centro da curva:
v_{\rm c}=\frac{24\times1000}{3600}\approx6{,}67\\ \mathrm{m/s}
\Omega=\frac{v_{\rm c}}{R_{\rm c}}=\frac{6{,}67}{30}\approx0{,}222\\ \mathrm{s^{-1}}

Passo 3

As rodas interna e externa descrevem arcos de raio
R_{\rm in}=30-\tfrac{1{,}80}{2}=29{,}10\\ \mathrm{m}, \quad R_{\rm out}=30+\tfrac{1{,}80}{2}=30{,}90\\ \mathrm{m}
Portanto suas velocidades lineares são
v_{\rm in}=\Omega\,R_{\rm in}\approx0{,}222\times29{,}10\approx6{,}47\\ \mathrm{m/s}, \quad v_{\rm out}=\Omega\,R_{\rm out}\approx0{,}222\times30{,}90\approx6{,}87\\ \mathrm{m/s}

Passo 4

Convertendo cada velocidade linear em rotação da roda (em rpm), sabendo que o raio do pneu é 0,45\\ \mathrm{m} e a circunferência vale 2\pi\cdot0{,}45:
n_{\rm in}=\frac{v_{\rm in}}{2\pi\,(0{,}45)}\times60\approx\frac{6{,}47}{2\pi\cdot0{,}45}\times60\approx137{,}3\\ \mathrm{rpm}
n_{\rm out}=\frac{v_{\rm out}}{2\pi\,(0{,}45)}\times60\approx\frac{6{,}87}{2\pi\cdot0{,}45}\times60\approx145{,}8\\ \mathrm{rpm}

Passo 5

No diferencial, o suporte gira à média aritmética das rotações das semieixos (das rodas):
n_{\rm sup}=\frac{n_{\rm in}+n_{\rm out}}{2} =\frac{137{,}3+145{,}8}{2}\approx141{,}6\\ \mathrm{rpm}

Resposta

A rotação do suporte do diferencial é aproximadamente \,141{,}6\\ \mathrm{rpm}.

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