7.3 Dois rolos A e B, para cortar chapas de metal, são acionados através do trem de engrenagens da Fig. 7.18. Os rolos devem operar nos sentidos mostrados em uma velocidade periférica de 45 pol/seg. (a) determine a relação de velocidades angulares \omega_{2} / \omega_{3} a fim de acionar os rolos na velocidade requerida. A engrenagem 1 gira a 1800 rpm . (b) determine o sentido de rotação da engrenagem 1 e o sentido da hélice do sem-fim 6 para serem obtidas as rotações necessárias aos rolos.

Passo 1

O enunciado dá um trem de engrenagens que conduz dois rolos (A e B) cujos diâmetros são proporcionais ao número de dentes das engrenagens 4 e 1, Z_{4}=120 e Z_{1}=60. O objetivo é que ambos os rolos tenham velocidade periférica
V=\omega_{A}\,\frac{D_{A}}{2} =\omega_{B}\,\frac{D_{B}}{2} =45\\ \text{pol/seg},
sabendo que a engrenagem 1 gira a 1800 rpm. A sequência de transmissão é
1\to 2\to 3–coaxial–4 (rolo A), e 1 (rolo B) recebe diretamente \omega_{1}.
Precisamos (a) achar a relação \omega_{2}/\omega_{3} para obter o mesmo V nos dois rolos;
(b) determinar o sentido de giro de 1 e o sentido de hélice do sem-fim para obter os sentidos mostrados na figura.

Passo 2

Expressamos a igualdade de velocidades periféricas:
\omega_{A}\,\frac{D_{A}}{2} =\omega_{B}\,\frac{D_{B}}{2} \;\Longrightarrow\; \frac{\omega_{A}}{\omega_{B}} =\frac{D_{B}}{D_{A}} =\frac{Z_{1}}{Z_{4}} =\frac{60}{120} =\tfrac12.
Aqui \omega_{B}=\omega_{1} e \omega_{A}=\omega_{4}. Como 3 e 4 são coaxiais, \omega_{3}=\omega_{4}, logo
\frac{\omega_{3}}{\omega_{1}} =\tfrac12.

Passo 3

Agora usamos as relações de cada malha:
– malha 1\to 2
\omega_{2} =-\,\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\;\omega_{1},
– malha 2\to 3
\omega_{3} =-\,\frac{Z_{2}}{Z_{3}}\;\omega_{2}.
Mas, para atender à condição \omega_{3}/\omega_{1}=1/2, basta combinar essas duas equações.

Passo 4

Dividindo \omega_{2} por \omega_{3} eliminamos \omega_{1}:
\frac{\omega_{2}}{\omega_{3}} =\frac{-\,\dfrac{Z_{1}}{Z_{2}}\,\omega_{1}} {-\,\dfrac{Z_{2}}{Z_{3}}\,\omega_{2}} =\frac{\dfrac{Z_{1}}{Z_{2}}}{\dfrac{Z_{2}}{Z_{3}}} =\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\;\frac{Z_{3}}{Z_{2}}
porém mais diretamente, usando \omega_{3}/\omega_{1}=Z_{1}/Z_{4} e \omega_{2}/\omega_{1}= -Z_{1}/Z_{2}, obtemos
\frac{\omega_{2}}{\omega_{3}} =\frac{-\,\dfrac{Z_{1}}{Z_{2}}} {\dfrac{Z_{1}}{Z_{4}}} =-\,\frac{Z_{4}}{Z_{2}} =-\,\frac{120}{48} =-\,2{,}5.

Passo 5

Interpretação do resultado de (a):
– o módulo \bigl|\omega_{2}/\omega_{3}\bigr|=2{,}5,
– o sinal “–” indica que o eixo 2 gira em sentido oposto ao eixo 3.

Passo 6

Para (b), vejamos a cadeia de inversões de sentido ao longo das engrenagens 1\to 2\to 3–coaxial–4:
1\to 2 inverte uma vez;
2\to 3 inverte outra vez;
3\to 4 (coaxial) não inverte.
Logo, se quisermos que o rolo B (engrenagem 1) gire, por exemplo, horário visto da esquerda, o rolo A (engrenagem 4) sairá também horário ou anti-horário conforme sejam as duas inversões. Na figura os sentidos estão indicados de modo que, para rolo B horário, rolo A horário, basta que 1 gire no sentido horário (visto da esquerda).
Quanto ao sem-fim: ele recebe \omega_{6}=\omega_{7} do eixo inclinado (uma só rotação, sem inversão extra) e aciona a roda-sem-fim (80 dentes, item 8). Para que essa roda gire no sentido indicado (ver seta em 9), é preciso usar um sem-fim de hélice para a esquerda (left-hand), de duas entradas, de modo que, ao girar no sentido horário visto do parafuso, o pinhão gire no sentido correto.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\omega_{2}}{\omega_{3}}=-2{,}5 (ou seja, módulo 2,5 e sentidos opostos).
(b) a engrenagem 1 deve girar no sentido horário, visto da esquerda, e o sem-fim deve ter hélice para a esquerda (left‐hand).

Exercícios relacionados