4.13- Determinar \rho a, \mathrm{P}_{\mathrm{o}} e \mathrm{P}_{\mathrm{o}} abs na configuração abaixo sendo dados: \rho
\begin{array}{ll} \mathrm{h}_{\mathrm{b}}=0,1 \mathrm{~m} & \mathrm{~h}_{\mathrm{a}}=0,2 \mathrm{~m} \\\ \rho b=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} & \mathrm{P}_{\mathrm{a}}=\mathrm{P}_{\mathrm{b}}=1 \mathrm{~atm} \\\\ 1 \mathrm{~atm}=101300 \mathrm{~Pa} & \mathrm{~g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \end{array}

Passo 1

O sistema é um manômetro em U com dois líquidos diferentes e um gás acima da coluna direita e esquerda, conforme a figura. Temos:
– Alturas medidas entre a interface gás–líquido e a superfície livre de cada líquido: \,h_a=0,2\rm\\ m (lado a) e \,h_b=0,1\rm\\ m (lado b).
– Densidade do líquido b: \rho_b=1000\rm\\ kg/m^3.
– Pressões nos reservatórios abertos: P_a=P_b=P_{\rm atm}=1\rm\\ atm=101300\\ Pa.
– Aceleração da gravidade: g=10\rm\\ m/s^2.
O que vamos usar: a equação da estática de fluidos \,dp/dz=-\rho g para relacionar a pressão no gás P_o com P_{\rm atm}, e depois eliminar P_o para achar \rho_a.

Passo 2

Aplicando a estática de fluidos entre a superfície livre do líquido a (onde a pressão é P_{\rm atm}) e a interface gás–líquido no lado a (altura h_a acima da superfície):
P_o \;=\; P_{\rm atm}\;-\;\rho_a\,g\,h_a.
Analogamente, no lado b:
P_o \;=\; P_{\rm atm}\;-\;\rho_b\,g\,h_b.

Passo 3

Como P_o é comum aos dois lados, igualamos as expressões:
P_{\rm atm}-\rho_a g h_a \;=\;P_{\rm atm}-\rho_b g h_b \quad\Longrightarrow\quad \rho_a\,h_a \;=\;\rho_b\,h_b.

Passo 4

Isolando \rho_a e substituindo valores:
\rho_a \;=\;\frac{\rho_b\,h_b}{h_a} \;=\;\frac{1000\;\times0,1}{0,2}\;\rm kg/m^3 \;=\;500\;\rm kg/m^3.

Passo 5

Agora usamos uma das fórmulas de P_o. Por exemplo, no lado a:
P_o \;=\;P_{\rm atm}-\rho_a\,g\,h_a =101300\;-\;500\;\times10\;\times0,2 =101300\;-\;1000 =100300\;\rm Pa.
Esse é o valor absoluto de P_o.

Passo 6

A pressão manométrica (em relação a P_{\rm atm}) é
P_{o,\rm man} \;=\;P_o - P_{\rm atm} =100300-101300 =-1000\;\rm Pa.

Resposta

\rho_a=500\;\rm kg/m^3,\quad P_o\bigl(\text{absoluta}\bigr)=100300\;\rm Pa,\quad P_o\bigl(\text{manométrica}\bigr)=-1000\;\rm Pa.é

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