4.15- Uma atmosfera tem uma temperatura ao nível do mar de 27^{\circ} \mathrm{C} e cai 1^{\circ} \mathrm{C} para cada 275 m de elevação. Se a constante do ar é R=287 \mathrm{~m}^{2} /\left(\mathrm{s}^{2} \mathrm{~K}\right), qual é a elevação sobre o nível do mar onde a pressão é 70 \% da que existe sobre o nível do mar?

Passo 1

O enunciado diz que ao nível do mar a temperatura é 27^\circ\mathrm{C} e que ela decresce 1^\circ\mathrm{C} a cada 275,m de elevação. A constante dos gases é R=287, \mathrm{m^2/(s^2\,K)}. Precisamos achar a altitude h em que a pressão p vale 70\% da do nível do mar p_{0}. Para isso, usaremos a equação de equilíbrio hidrostático combinada com a equação de estado do gás ideal, levando em conta que a temperatura varia linearmente com a altura.

Passo 2

Convertemos a temperatura inicial para Kelvin e definimos a taxa de variação (lapse rate) em \mathrm{K/m}:
T_{0}=27^\circ\mathrm{C}=300\\ \mathrm{K},
L=\frac{1\\ \mathrm{K}}{275\\ \mathrm{m}}\approx0{,}003636\\ \mathrm{K/m}.

Passo 3

Pela hidrostática e gás ideal temos
\frac{dp}{dz}=-\rho g \quad\text{e}\quad \rho=\frac{p}{R\,T(z)}.
Logo
\frac{dp}{p}=-\frac{g}{R\,T(z)}\,dz.
Como T(z)=T_{0}-L\,z, integramos de z=0 (onde p=p_{0}) até z=h (onde p=p_{0}\tfrac{p}{p_{0}}):
\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp'}{p'} =-\frac{g}{R}\int_{0}^{h}\frac{dz}{T_{0}-L\,z}.
Fazendo a integral do lado direito,
\int_{0}^{h}\frac{dz}{T_{0}-L\,z} =-\frac{1}{L}\ln\!\biggl(\frac{T_{0}-L\,h}{T_{0}}\biggr).
Logo
\ln\!\biggl(\frac{p}{p_{0}}\biggr) =\frac{g}{R\,L} \ln\!\biggl(\frac{T_{0}-L\,h}{T_{0}}\biggr).

Passo 4

Escrevemos a relação final de razão de pressões:
\frac{p}{p_{0}} =\biggl(\frac{T_{0}-L\,h}{T_{0}}\biggr)^{\frac{g}{R\,L}}.
Queremos \tfrac{p}{p_{0}}=0{,}70. Definindo o expoente
\alpha=\frac{g}{R\,L}
e isolando h,
0{,}70 =\Bigl(1-\frac{L\,h}{T_{0}}\Bigr)^{\alpha} \quad\Longrightarrow\quad 1-\frac{L\,h}{T_{0}} =0{,}70^{1/\alpha} \quad\Longrightarrow\quad h =\frac{T_{0}}{L}\Bigl[1-0{,}70^{1/\alpha}\Bigr].

Passo 5

Calculamos numericamente:
\alpha =\frac{g}{R\,L} =\frac{9{,}80665}{287\;\times\frac{1}{275}} \approx9{,}395.
Então
0{,}70^{1/\alpha} =0{,}70^{1/9{,}395} \approx0{,}9627,
h =\frac{300}{0{,}003636} \bigl(1-0{,}9627\bigr) \approx82500\times0{,}0373 \approx3076\\ \mathrm{m}.

Resposta

A elevação em que a pressão cai para 70\% da do nível do mar é aproximadamente 3076,m.

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