13 Encontrar o número de soluções inteiras de
x_{1}+x_{2}+x_{3}=12
com x_{i} \geq-2, para i=1,2,3.

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções em inteiros de
x_{1}+x_{2}+x_{3}=12
sujeitas a
x_{i}\ge -2,\quad i=1,2,3.
Trata-se de um problema de contagem de soluções de equações lineares com restrições inferiores, que resolvemos com estrelas e barras.

Passo 2

Para eliminar o limite inferior -2, definimos
y_{i}=x_{i}+2,
de modo que
y_{i}\ge0.

Passo 3

Somando as três definições, temos
y_{1}+y_{2}+y_{3} =(x_{1}+2)+(x_{2}+2)+(x_{3}+2) =12+6 =18,
com y_{i}\ge0 inteiros.

Passo 4

Pelo teorema de estrelas e barras, o número de soluções não negativas de
y_{1}+y_{2}+y_{3}=18
é
\binom{18+3-1}{3-1} =\binom{20}{2} =190.

Resposta

190

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