13 Sejam f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}, onde a_{j} \in \mathbb{R}, \beta \in \mathbb{C}. Mostre que:
(a) \overline{f(\beta)}=f(\bar{\beta});
(b) \beta é raiz de f(x) se, e somente se, \bar{\beta} é raiz de f(x);
(c) Se n=2 e \Delta=a_{1}^{2}-4 a_{2} a_{0}<0, então f(x) tem duas raízes distintas \alpha, \bar{\alpha} \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá um polinômio
f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0},
com a_{j}\in\mathbb{R} para todo j, e um número complexo \beta\in\mathbb{C}. Pede-se para mostrar três coisas:
(a) que \overline{f(\beta)}=f(\overline{\beta});
(b) que \beta é raiz de f se, e só se, \overline{\beta} é raiz de f;
(c) supondo n=2 e \Delta=a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}<0, mostrar que f tem duas raízes distintas \alpha e \overline{\alpha} que são complexas não reais.
As informações relevantes que temos são: os coeficientes a_j são reais (isso é crucial), \beta é qualquer número complexo, e no item (c) o discriminante é negativo.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar propriedades básicas da conjugação complexa que vamos usar (é essencial entender isso).
Definição: se z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}, então a conjugada de z é \overline{z}=x-iy.
Propriedades importantes (e fáceis de verificar a partir da definição):
  1. Linearidade em soma: \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}. Isso vem de somar as partes reais e imaginárias e trocar o sinal da parte imaginária.
  2. Produto: \overline{zw}=\overline{z}\,\overline{w}. Pode verificar expandindo z=x+iy e w=u+iv.
  3. Conjugado de potência: para inteiro k\ge 0, \overline{z^{k}}=(\overline{z})^{k}. Isso segue da propriedade do produto por indução.
  4. Conjugado de constante real: se c\in\mathbb{R} então \overline{c}=c. Em particular, para nossos coeficientes a_j temos \overline{a_j}=a_j.
  5. Conjugado do zero: \overline{0}=0. Útil para argumentos com raízes.
Vou usar essas propriedades explicitamente nos próximos passos.

Passo 3

Prova do item (a): queremos mostrar \overline{f(\beta)}=f(\overline{\beta}).
Começo calculando \overline{f(\beta)}. Usando a expressão do polinômio,
f(\beta)=a_{n}\beta^{n}+a_{n-1}\beta^{n-1}+\cdots+a_{1}\beta+a_{0}.
Aplicando a conjugação e usando as propriedades da Passo 2 (conjugado de soma é soma dos conjugados, conjugado de produto e potência),
\overline{f(\beta)}=\overline{a_{n}\beta^{n}}+\overline{a_{n-1}\beta^{n-1}}+\cdots+\overline{a_{1}\beta}+\overline{a_{0}}.
Como cada a_j é real, \overline{a_j}=a_j. E \overline{\beta^{k}}=(\overline{\beta})^{k}. Portanto cada termo fica
\overline{a_{j}\beta^{j}}=a_{j}\,(\overline{\beta})^{j}.
Somando todos os termos obtemos
\overline{f(\beta)}=a_{n}(\overline{\beta})^{n}+a_{n-1}(\overline{\beta})^{n-1}+\cdots+a_{1}(\overline{\beta})+a_{0}.
Mas o lado direito é exatamente f(\overline{\beta}). Logo
\overline{f(\beta)}=f(\overline{\beta}),
o que prova (a).

Passo 4

Observação didática curta para fixar: a razão essencial da igualdade é que conjugação “passa” por soma, produto e potência, e os a_j são reais (portanto inalterados pela conjugação). Sem coeficientes reais a igualdade pode falhar.

Passo 5

Prova do item (b): mostrar que \beta é raiz de f se, e somente se, \overline{\beta} é raiz de f.
Direção 1 (⇒): Suponha f(\beta)=0. Aplicando conjugação aos dois lados e usando que \overline{0}=0,
\overline{f(\beta)}=\overline{0}=0.
Pelo item (a) \overline{f(\beta)}=f(\overline{\beta}). Então f(\overline{\beta})=0. Assim \overline{\beta} é raiz.
Direção 2 (⇐): Suponha f(\overline{\beta})=0. Aplicando conjugação e o item (a) na forma \overline{f(\overline{\beta})}=f(\overline{\overline{\beta}})=f(\beta) (note que \overline{\overline{\beta}}=\beta), obtém-se f(\beta)=0. Então \beta é raiz.
Portanto \beta é raiz se, e somente se, \overline{\beta} é raiz, que era o que queríamos.

Passo 6

Agora o item (c). Primeiro escrevemos explicitamente o polinômio quadrático (caso n=2):
f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},
com a_{2}\neq 0 (caso contrário não seria quadrático). O discriminante é definido por
\Delta=a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}.
A fórmula resolvente (fórmula quadrática) dá as raízes do polinômio quadrático como
x=\frac{-a_{1}\pm\sqrt{\Delta}}{2a_{2}}.
Breve explicação da fórmula (completação do quadrado): divide por a_2, escreve x^{2}+\frac{a_1}{a_2}x+\frac{a_0}{a_2}=0, completa o quadrado e isola x. O resultado é a expressão acima. A variável \sqrt{\Delta} aqui é uma raiz quadrada complexa de \Delta; quando \Delta<0 ela é imaginária pura.

Passo 7

Usando \Delta<0: então \Delta=-|\Delta| com |\Delta|>0. Isso implica que \sqrt{\Delta}=i\sqrt{|\Delta|} ou \sqrt{\Delta}=-\,i\sqrt{|\Delta|}, mas as duas escolhas apenas trocam o sinal no \pm da fórmula; as duas raízes são
\alpha=\frac{-a_{1}+i\sqrt{|\Delta|}}{2a_{2}} \qquad\text{e}\qquad \beta'=\frac{-a_{1}-i\sqrt{|\Delta|}}{2a_{2}}.
Observe que \beta'=\overline{\alpha}, porque -a_{1} e 2a_{2} são reais (coeficientes reais) e a conjugação troca i por -i. Assim as duas raízes são conjugadas entre si.
Também são distintas porque |\Delta|>0 implica \sqrt{|\Delta|}\neq 0, logo os sinais + e - produzem números diferentes; equivalentemente \sqrt{\Delta}\neq 0 quando \Delta<0. Finalmente, são não reais porque têm parte imaginária \pm\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2a_{2}} não nula (já que \sqrt{|\Delta|}\neq 0 e a_{2}\neq 0).
Portanto, no caso \Delta<0, f tem duas raízes distintas complexas não reais que são conjugadas entre si: \alpha e \overline{\alpha}.

Passo 8

Exemplo rápido para intuir: se f(x)=x^{2}+1 então a_{2}=1,a_{1}=0,a_{0}=1, \Delta=0^{2}-4\cdot1\cdot1=-4<0. As raízes pela fórmula são x=\pm i, que são \alpha=i e \overline{\alpha}=-i. Isso ilustra o que mostramos.
Força aí — você já consegue argumentar isso na prova: parte (a) é só usar que conjugação “passa” por soma/produto e que coeficientes são reais; (b) é consequência direta; (c) é aplicação da fórmula quadrática e da observação de que raiz quadrada de número negativo é imaginária, produzindo conjugados distintos.

Resposta

(a) \overline{f(\beta)}=f(\overline{\beta}).
(b) \beta é raiz de f se, e somente se, \overline{\beta} é raiz de f.
(c) Se n=2 e \Delta=a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}<0, então as duas raízes são
\displaystyle \alpha=\frac{-a_{1}+i\sqrt{|\Delta|}}{2a_{2}} e \displaystyle \overline{\alpha}=\frac{-a_{1}-i\sqrt{|\Delta|}}{2a_{2}},
que são distintas e pertencem a \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}.