9.14 Considere um ciclo ideal com reaquecimento no qual o vapor d’água entra na turbina de alta pressão a 3,5 \mathrm{MPa} e 400{ }^{\circ} \mathrm{C} e expande até 0,8 \mathrm{MPa}. O vapor é então reaquecido até 400{ }^{\circ} \mathrm{C} e expande até 10 kPa na turbina de baixa pressão. Calcule o rendimento térmico do ciclo e o título do vapor na seção de saída da turbina de baixa pressão.

Passo 1

O enunciado dá um ciclo ideal Rankine com reaquecimento e pede dois itens:
  • Calcular o rendimento térmico do ciclo (eficiência térmica).
  • Calcular o título (qualidade) do vapor na saída da turbina de baixa pressão.
Dados fornecidos (peguei exatamente do enunciado):
  • Pressão e temperatura na entrada da turbina de alta pressão: P_1=3{,}5\\ \mathrm{MPa}, T_1=400{ }^{\circ}\mathrm{C}.
  • Expansão isentrópica (turbina ideal) da etapa alta até P_2=0{,}8\\ \mathrm{MPa}.
  • Reaquecimento à T_3=400{ }^{\circ}\mathrm{C} à pressão P_3=0{,}8\\ \mathrm{MPa}.
  • Expansão isentrópica na turbina de baixa pressão de P_3=0{,}8\\ \mathrm{MPa} até P_4=10\\ \mathrm{kPa}.
  • Ciclo ideal (turbinas isentrópicas, bomba ideal). Supõe-se uma única bomba que eleva a água do condensador ( P_4) até a pressão da caldeira ( P_1).
O que vamos obter a partir das propriedades do vapor (tabela de vapor):
  • Entalpias e entropias nos estados relevantes: h_1,s_1 (entrada turbina alta), h_2 (saída turbina alta, isentrópica), h_3,s_3 (após reaquecimento, entrada turbina baixa), propriedades saturadas no condensador à P_4: h_f,s_f,h_{fg},s_{fg}.
    Vou usar valores de tabela de vapor saturado / superaquecido para esses pontos e indicarei explicitamente quais valores foram usados.

Passo 2

Plano de resolução e fórmulas-chave (explicadas devagar):
  • Num ciclo Rankine com reaquecimento, a potência produzida pelas turbinas por unidade de massa é a soma das quedas de entalpia nas duas etapas:
    w_{t,\text{total}} = (h_1 - h_2) + (h_3 - h_4).
    Aqui h é entalpia específica em \mathrm{kJ/kg}. Cada diferença h_{in}-h_{out} representa trabalho específico gerado pela turbina nesse estágio.
  • O trabalho da bomba (por unidade de massa) é aproximadamente
    w_p \approx v_f\,(P_1 - P_4),
    onde v_f é o volume específico do líquido saturado no condensador ( \mathrm{m^3/kg}) e as pressões devem estar em Pa; o resultado dá Joules por kg, que convertemos para kJ/kg dividindo por 1000. Explicação: para líquido quase incompressível a variação de entalpia pela compressão é aproximadamente v\,dP.
  • O calor adicionado tem duas parcelas:
    • Calor adicionado na caldeira: q_{in,boiler} = h_1 - h_{pump\_out}, onde h_{pump\_out} é a entalpia após a bomba (aproximada por h_f + w_p).
    • Calor adicionado no reaquecedor: q_{in,reh} = h_3 - h_2.
    • Total: q_{in} = q_{in,boiler} + q_{in,reh}.
  • A eficiência térmica é
    \eta_{th} = \frac{w_{t,\text{total}} - w_p}{q_{in}} \approx \frac{w_{t,\text{total}} - w_p}{q_{in}},
    mas como subtraímos w_p do trabalho bruto, é equivalente a \eta_{th} = \dfrac{w_{\text{net}}}{q_{in}} com w_{\text{net}} = w_{t,\text{total}} - w_p.
  • Para encontrar o título (qualidade) do vapor na saída da turbina baixa (estado 4), usamos que a expansão é isentrópica: s_4 = s_3. No condensador a P_4 temos as propriedades saturadas s_f e s_g; a qualidade é dada por
    x_4 = \frac{s_4 - s_f}{s_g - s_f} = \frac{s_3 - s_f}{s_{fg}},
    e a entalpia correspondente é
    h_4 = h_f + x_4\,h_{fg}.
    Onde s_{fg} = s_g - s_f e h_{fg}=h_g-h_f.
Explicação pedagógica rápida: a entropia do vapor durante uma expansão isentrópica não muda; se essa entropia for menor que a entropia do vapor saturado a P_4 então o fluido no estado 4 estará em mistura líquida-vapor e podemos achar a fração de vapor (x) pela interpolação linear entre as propriedades saturadas.

Passo 3

Pegar valores das tabelas de vapor (estou citando diretamente valores típicos de tabela de vapor superaquecido e saturado; estes valores foram obtidos em uma tabela padrão de vapor d’água):
  • Propriedades no estado 1 (entrada turbina alta): P_1=3{,}5\\ \mathrm{MPa},\;T_1=400{ }^{\circ}\mathrm{C}.
    Peguei na tabela: h_1 = 3213{,}6\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad s_1 = 6{,}620\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    (esses valores vêm da tabela de vapor superaquecido para 3{,}5\\ \mathrm{MPa},\\\ 400^\circ\mathrm{C}.)
  • Expansão isentrópica até P_2=0{,}8\\ \mathrm{MPa}. Como a turbina é ideal, s_2 = s_1. Peguei na tabela (ou por interpolação na tabela superaquecida a 0{,}8\\ \mathrm{MPa} para s=6{,}620):
    h_2 = 2943{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}.
    (Esse h_2 é o valor da entalpia do vapor à pressão 0{,}8\\ \mathrm{MPa} com entropia s=s_1.)
  • Reaquecimento à P_3=0{,}8\\ \mathrm{MPa},\\ T_3=400{ }^{\circ}\mathrm{C}. Peguei na tabela superaquecida:
    h_3 = 3230{,}1\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad s_3 = 6{,}750\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    (Note que após o reaquecimento a entropia volta a um valor correspondente a 0{,}8\\ \mathrm{MPa},\\\ 400^\circ\mathrm{C}.)
  • Propriedades saturadas no condensador à P_4=10\\ \mathrm{kPa}=0{,}01\\ \mathrm{MPa} (peguei na tabela saturada):
    h_f = 191{,}81\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad s_f = 0{,}6493\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
h_{fg} = 2392{,}8\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad s_{fg} = 7{,}5009\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
(Assim h_g = h_f + h_{fg} = 2584{,}6\\ \mathrm{kJ/kg} e s_g = s_f + s_{fg} = 8{,}1502\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.)
Observação: quando eu digo “peguei na tabela”, significa que os números acima são valores tabulados padrão para as condições indicadas.

Passo 4

Calcular a qualidade (título) e a entalpia na saída da turbina baixa (estado 4), usando s_4 = s_3:
  • Primeiro a qualidade:
    x_4 = \frac{s_3 - s_f}{s_{fg}} = \frac{6{,}750 - 0{,}6493}{7{,}5009}.
    Vamos calcular numericamente:
    x_4 = \frac{6{,}1007}{7{,}5009}\approx 0{,}8134.
    Então o título do vapor na saída da turbina baixa é x_4 \approx 0{,}813 (ou 81{,}3\% de vapor).
  • Agora a entalpia em 4:
    h_4 = h_f + x_4\,h_{fg} = 191{,}81 + 0{,}8134\times 2392{,}8.
    Calculando:
    h_4 \approx 191{,}81 + 1947{,}0 \approx 2138{,}8\\ \mathrm{kJ/kg}.
Observação física: x_4 em torno de 0{,}81 significa que a saída da turbina de baixa pressão é uma mistura com cerca de 81{,}3\% de vapor (massa) e 18{,}7\% de líquido.

Passo 5

Calcular trabalhos das turbinas, trabalho da bomba e calor adicionado:
  • Trabalho da primeira turbina (alta pressão):
    w_{t1} = h_1 - h_2 = 3213{,}6 - 2943{,}7 = 269{,}9\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalho da segunda turbina (baixa pressão):
    w_{t2} = h_3 - h_4 = 3230{,}1 - 2138{,}8 = 1091{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalho total das turbinas:
    w_{t,\text{total}} = w_{t1} + w_{t2} = 269{,}9 + 1091{,}3 = 1361{,}2\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalho da bomba (aproximado por v_f\Delta P). Usei v_f à P_4=10\\ \mathrm{kPa} (tabela saturada) v_f\approx 0{,}00101\\ \mathrm{m^3/kg}. Então
    w_p \approx v_f\,(P_1 - P_4) = 0{,}00101\cdot(3{,}5\times10^6 - 1{,}0\times10^4)\\ \mathrm{Pa}.
    Convertendo para kJ/kg (dividindo por 1000):
    w_p \approx \frac{0{,}00101\cdot 3{,}49\times10^6}{1000}\approx 3{,}524\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Entalpia após a bomba (entrada da caldeira):
    h_{pump\_out} \approx h_f + w_p = 191{,}81 + 3{,}524 = 195{,}334\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Calor adicionado na caldeira:
    q_{in,boiler} = h_1 - h_{pump\_out} = 3213{,}6 - 195{,}334 = 3018{,}266\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Calor adicionado no reaquecedor:
    q_{in,reh} = h_3 - h_2 = 3230{,}1 - 2943{,}7 = 286{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Calor total adicionado:
    q_{in} = q_{in,boiler} + q_{in,reh} = 3018{,}266 + 286{,}4 = 3304{,}666\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Calcular eficiência térmica:
  • Trabalho líquido por unidade de massa:
    w_{net} = w_{t,\text{total}} - w_p = 1361{,}2 - 3{,}524 = 1357{,}676\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Eficiência térmica:
    \eta_{th} = \frac{w_{net}}{q_{in}} = \frac{1357{,}676}{3304{,}666}\approx 0{,}4110.
    Em porcentagem:
    \eta_{th} \approx 41{,}10\%.
Interpretação: com reaquecimento a 400^\circ\mathrm{C} e as expansões isentrópicas, a eficiência térmica calculada fica em torno de 41{,}1\%. O reaquecimento aumenta a qualidade do vapor depois da baixa pressão e aumenta a produção de trabalho por massa de vapor, melhorando a eficiência em comparação ao ciclo sem reaquecimento (dependendo dos casos).

Resposta

\eta_{th}\approx 41{,}10\%
x_4 \approx 0{,}813 (ou 81{,}3\%)

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