14.2
Discuta as etapas envolvidas no cálculo da energia de um sistema usando o princípio variacional.

Passo 1

O enunciado pede que eu discuta as etapas envolvidas no cálculo da energia de um sistema usando o princípio variacional. Informações e dados relevantes que tipicamente aparecem (ou que precisaremos assumir para explicar o método) são:
  • A Hamiltoniana do sistema, chamada aqui de H (opera sobre funções de onda do sistema).
  • Que buscamos a energia do estado fundamental (energia mínima), que vamos chamar de E_0 (valor desconhecido).
  • A existência do espaço de funções admissíveis (funções que obedecem às condições de contorno e são fisicamente aceitáveis).
  • A possibilidade de escolher uma família de funções de teste (funções de tentativa) com parâmetros variacionais que podemos ajustar.
    Nada mais é pedido explicitamente pelo enunciado; a resolução a seguir apresenta, passo a passo, o que fazer na prática para usar o princípio variacional e inclui um exemplo concreto para fixar a técnica.

Passo 2

Enunciado do princípio variacional e justificativa básica (prova curta):
  • Definição do funcional energia: para qualquer função admissível \psi não-nula definimos
E[\psi]=\frac{\langle \psi | H | \psi \rangle}{\langle \psi | \psi \rangle}.
Aqui \langle \psi | \varphi \rangle é o produto interno (no caso unidimensional, \langle \psi | \varphi \rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x)\varphi(x)\,dx).
  • Teorema variacional (forma simples): se \{\,\phi_n\,\} são os autovetores de H com autovalores ordenados E_0\le E_1\le E_2\le\cdots, e se escrevemos \psi=\sum_n c_n \phi_n, então
\langle\psi|H|\psi\rangle=\sum_n |c_n|^2 E_n \quad\text{e}\quad \langle\psi|\psi\rangle=\sum_n |c_n|^2,
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E[\psi]=\frac{\sum_n |c_n|^2 E_n}{\sum_n |c_n|^2}\ge E_0.
Portanto, E[\psi] é sempre um limite superior para E_0. Isto é a razão teórica que torna a técnica útil: ao minimizar E[\psi] sobre uma família de funções obtemos a melhor aproximação (no sentido de menor energia) dentro dessa família.

Passo 3

Preparação prática: normalização e escolha do funcional a minimizar
  • Como definição prática, convém trabalhar sempre com funções normalizadas, isto é impor \langle \psi | \psi \rangle = 1. Nesse caso o funcional simplifica para
E[\psi]=\langle \psi | H | \psi \rangle.
  • Se usarmos funções com parâmetros \psi(x;\alpha_1,\alpha_2,\dots), definimos o funcional de energia como função desses parâmetros:
E(\alpha_1,\alpha_2,\dots)=\frac{\langle \psi(\alpha) | H | \psi(\alpha) \rangle}{\langle \psi(\alpha) | \psi(\alpha) \rangle}.
A tarefa prática é minimizar E(\alpha) em relação aos parâmetros \alpha_i. Explico detalhadamente como calcular cada termo na prática nos próximos passos.

Passo 4

Escolha da função de tentativa (critério e dicas):
  • A função de tentativa deve satisfazer as condições físicas (condições de contorno, comportamento no infinito, continuidade, cusp conditions se necessárias).
  • Deve respeitar simetrias do problema (por exemplo, paridade, spin, número de nós para estados excitados). Incluir simetrias reduz o espaço de busca e aumenta eficiência.
  • Deve ser flexível, com poucos parâmetros não-lineares fáceis de ajustar; exemplos típicos: gaussianas, exponenciais, funções polinomiais vezes decaimento exponencial, ou combinações lineares de funções-base.
  • Regra prática: comece com uma função simples que tenha o mesmo comportamento físico do estado buscado. Se o resultado for ruim, aumente a flexibilidade (mais parâmetros ou mais funções base).
Exemplo de tipos de parâmetros:
  • Parâmetros não-lineares (ex.: largura de uma gaussiana \alpha em \psi(x)=e^{-\alpha x^2}).
  • Coeficientes lineares em uma expansão \psi=\sum_i c_i \phi_i; nestes o problema reduz-se a álgebra linear (veja Passo 7).

Passo 5

Cálculo explícito dos integrandos: termos cinético e potencial
  • Escreva a Hamiltoniana em termos operacionais; por exemplo, para uma partícula unidimensional:
H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V(x).
  • Calcule separadamente \langle \psi | -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} | \psi \rangle e \langle \psi | V(x) | \psi \rangle. Explique cada termo: \hbar é a constante de Planck reduzida, m massa, V(x) potencial.
  • Para a parte cinética use integração por partes quando conveniente ou calcule \langle \psi | p^2 | \psi \rangle com p=-\mathrm{i}\hbar \frac{d}{dx}, lembrando que \langle \psi | p^2 | \psi \rangle=\hbar^2\int | \psi'(x) |^2 dx (se \psi decai bem no infinito).
  • Para a parte potencial calcule \int \psi^*(x)V(x)\psi(x)\,dx. Dependendo da função de tentativa, essas integrais podem ser feitas analiticamente (óptimo) ou numericamente (trivial com quadratura).
Sempre escreva as integrais explicitamente ao calcular E(\alpha).

Passo 6

Minimização do funcional: procedimentos analíticos e numéricos
  • Se há poucos parâmetros não-lineares e as integrais dão expressões analíticas, derive \partial E/\partial \alpha_i=0 e resolva para \alpha_i. Explique que isso é a condição de extremização; verificar segunda derivada garante mínimo.
  • Se a dependência é complicada, use métodos numéricos (gradiente, Newton, busca unidimensional, algoritmos de otimização) para encontrar \alpha_i que minimizam E.
  • Sempre verifique se o mínimo é local ou global; variações iniciais diferentes ajudam a identificar mínimos locais.
  • Lembre-se: o valor encontrado E_{\text{min}} é um limite superior para E_0. Quanto mais rica a família de teste, mais próximo de E_0 tende a ser E_{\text{min}}.

Passo 7

Método linear (Rayleigh–Ritz) — transformar em problema de autovalores (muito usado na prática)
  • Escolha um conjunto de funções-base \{\phi_i\}_{i=1}^N (não necessariamente ortonormal) e escreva
\psi=\sum_{i=1}^N c_i \phi_i.
  • Defina as matrizes (elementos de matriz)
H_{ij}=\langle \phi_i | H | \phi_j \rangle,\qquad S_{ij}=\langle \phi_i | \phi_j \rangle.
  • A condição de minimização sujeita à normalização leva ao problema generalizado de autovalores
\mathbf{H}\mathbf{c}=E\,\mathbf{S}\mathbf{c},
onde \mathbf{c}=(c_1,\dots,c_N)^T. O menor autovalor E dessa equação é a melhor aproximação para E_0 dentro do espaço gerado pelas \phi_i.
  • Se as \phi_i forem ortonormais, então \mathbf{S}=\mathbf{I} e o problema reduz-se a \mathbf{H}\mathbf{c}=E\mathbf{c}.
  • Dica prática: escolha funções-base que respeitem a simetria do problema para reduzir o tamanho da matriz necessária.

Passo 8

Exemplo concreto e totalmente desenvolvido (os cálculos mostram como aplicar as etapas): partícula no potencial harmônico com tentativa gaussiana.
  • Hamiltoniana:
H=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{2}m\omega^2 x^2.
  • Função de tentativa com um parâmetro \alpha>0:
\psi(x;\alpha)=N(\alpha)\,e^{-\alpha x^2}.
  • Normalização: calcule N(\alpha). Usamos \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\alpha x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{2\alpha}}. Logo
N(\alpha)=\left(\frac{2\alpha}{\pi}\right)^{1/4}.
  • Cálculo de \langle x^2\rangle: com a densidade |\psi|^2=(2\alpha/\pi)^{1/2}e^{-2\alpha x^2} usamos \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-\beta x^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\beta^3}}. Com \beta=2\alpha obtemos
\langle x^2\rangle=\frac{1}{4\alpha}.
  • Cálculo de \langle p^2\rangle: como \psi'(x)=-2\alpha x\psi(x) tem-se \displaystyle \int | \psi'(x) |^2 dx = 4\alpha^2 \langle x^2\rangle = \alpha. Logo
\langle p^2\rangle=\hbar^2\int |\psi'|^2 dx=\hbar^2 \alpha.
  • Energia total:
E(\alpha)=\frac{\langle p^2\rangle}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2\langle x^2\rangle =\frac{\hbar^2\alpha}{2m}+\frac{m\omega^2}{8\alpha}.
  • Minimização: compute \dfrac{dE}{d\alpha}=0:
\frac{dE}{d\alpha}=\frac{\hbar^2}{2m}-\frac{m\omega^2}{8\alpha^2}=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{m\omega}{2\hbar}.
  • Substituindo volta em E(\alpha):
E_{\min}=\frac{\hbar^2}{2m}\cdot\frac{m\omega}{2\hbar}+\frac{m\omega^2}{8}\cdot\frac{2\hbar}{m\omega} =\frac{\hbar\omega}{4}+\frac{\hbar\omega}{4}=\frac{\hbar\omega}{2}.
Resultado: a aproximação obtida com a gaussiana é exatamente a energia fundamental do oscilador harmônico, mostrando um caso em que a família de tentativa contém a função exata.

Passo 9

Como tratar estados excitados e restrições de ortogonalidade
  • Para aproximar estados excitados imponha que a função de tentativa seja ortogonal às soluções já encontradas (por exemplo, para obter o primeiro excitado minimize E[\psi] sujeito a \langle\psi|\psi\rangle=1 e \langle\psi|\psi_0\rangle=0).
  • No método linear (Passo 7), os autovalores subsequentes da equação generalizada já fornecem aproximações para estados excitados, com as correspondentes autovetores fornecendo as combinações de base.

Passo 10

Prática computacional, verificação e interpretação do erro variacional
  • Verificação: aumente a família de tentativa e observe que o valor mínimo de energia não aumenta (a melhor aproximação melhora ou permanece). Isto é consequência do princípio de Rayleigh–Ritz.
  • Estimativa de erro: a diferença E[\psi]-E_0 é uma medida do erro, mas não dá automaticamente um valor numérico para E_0. Em muitos problemas práticos com parâmetros, comparar resultados com bases crescentes ou com métodos alternativos (ex.: diagonalização numa base maior) dá indicação do erro.
  • Cuidado numérico: avalie bem as integrais (analíticas quando possível, caso contrário com quadraturas precisas) e cuide da estabilidade da minimização (muitos parâmetros podem levar a superfícies de energia com mínimos locais).

Passo 11

Vantagens, limitações e dicas finais para a prova (prático e motivador)
  • Vantagens: fornece um limite superior garantido para E_0; é flexível; pode ser implementado analítica ou numericamente; ótimo para estados fundamentais.
  • Limitações: resultado depende fortemente da qualidade da função de tentativa; encontrar bons parâmetros pode exigir intuição física; pode haver mínimos locais.
  • Dicas para a prova: escolha funções que incorporem comportamento físico (decrescimento exponencial, simetria), escreva claramente o funcional E(\alpha), mostre normalização, calcule as integrais passo a passo, e ao minimizar escreva a condição e verifique segunda derivada. Se o professor pedir método linear, apresente as matrizes H_{ij} e S_{ij} e explique a equação generalizada \mathbf{H}\mathbf{c}=E\mathbf{S}\mathbf{c}. Você consegue — siga cada etapa devagar e com cuidado.

Resposta

  1. Escrever o funcional de energia \displaystyle E[\psi]=\dfrac{\langle\psi|H|\psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle}.
  2. Escolher uma família de funções de tentativa \psi(x;\alpha_1,\alpha_2,\dots) que respeite as condições físicas e simetrias.
  3. Normalizar a função de tentativa ou usar a forma com denominador no funcional.
  4. Calcular explicitamente os termos \langle\psi|T|\psi\rangle e \langle\psi|V|\psi\rangle (integrar cinética e potencial).
  5. Obter E(\alpha_1,\alpha_2,\dots) e minimizar em relação aos parâmetros (resolver \partial E/\partial\alpha_i=0 ou usar otimização numérica).
  6. Interpretar o mínimo como limite superior para E_0 e melhorar a aproximação aumentando a flexibilidade da família de tentativa (ou usar método linear/Rayleigh–Ritz: construir H_{ij}, S_{ij} e resolver \mathbf{H}\mathbf{c}=E\mathbf{S}\mathbf{c}).
  7. Para estados excitados impor ortogonalidade às soluções inferiores; verificar convergência, cuidar de mínimos locais e estimar erro comparando bases/parametrizações.

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