3.8.14 Quais são as peculiaridades dos diagramas de momento fletor e de esforço cortante em uma viga simétrica sob forças externas simétricas? E no caso de forças externas antissimétricas?
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Descrever as peculiaridades (propriedades) dos diagramas de momento fletor e de esforço cortante para uma viga simétrica quando as forças externas são simétricas.
- Descrever o mesmo quando as forças externas são antissimétricas.
Informações / hipóteses usadas (implícitas no enunciado e que vou assumir explicitamente para poder raciocinar):
- A viga é geometricamente simétrica em torno do ponto médio (por exemplo, eixo
no meio da viga) e as condições de apoio são simétricas em relação a esse ponto (por exemplo, apoios idênticos à mesma distância do centro). - Vou introduzir um sistema de coordenadas com a origem no ponto médio da viga: o eixo
mede a posição ao longo da viga e +x para a direita, -x para a esquerda. - As cargas distribuídas são descritas por
(força por unidade de comprimento), e diagramas de esforço cortante e momento fletor são funções e . - Não há necessidade de um tipo específico de apoio para estabelecer as propriedades de paridade (desde que a viga e os apoios sejam simétricos).
O que vou mostrar depois:
- Definições de “simétrico” (par = função par) e “antissimétrico” (ímpar = função ímpar) aplicadas às cargas.
- As relações diferenciais entre
, e . - Provas diretas (usando paridade) das propriedades dos diagramas.
- Interpretação física e consequências úteis na hora da prova (valores no centro, máximos, reações, esboço mental).
Passo 2
Definições matemáticas de simetria (paridade) para usar depois:
- Uma função
é par (simétrica) se
- Uma função
é ímpar (antissimétrica) se
Aplicando ao carregamento:
- “Forças externas simétricas” significa que a carga distribuída satisfaz
(isto é, é par). - “Forças externas antissimétricas” significa que
(isto é, é ímpar).
Passo 3
Relações diferenciais fundamentais (aulas rápidas sobre elas):
- A equação que liga cortante
à carga distribuída é:
- Explicação: a taxa de variação do esforço cortante ao longo da viga é igual ao negativo da carga distribuída. Intuitivamente, uma carga para baixo faz o cortante diminuir quando avançamos no sentido
. - A equação que liga momento
ao cortante é:
- Explicação: a inclinação do diagrama de momento é dada pelo valor do cortante naquele ponto.
Obs.: essas duas fórmulas são as ferramentas principais para relacionar paridades entre
,
e
.
Passo 4
Caso 1 — cargas simétricas:
é par (
).
Prova por paridade das propriedades de e
:
Prova por paridade das propriedades de
- Mostrar que
é ímpar:
- Considere a função
. - Diferenciando,
- Usando
,
- Como
é par, , portanto . - Logo
é constante. Avaliando em : . Se a viga e os apoios são simétricos, a resultante à esquerda e à direita ao centro costuma equilibrar de modo que (argumento físico: para carregamento par os esforços cortantes nas duas metades se anulam no centro), então e assim . - Conclusão matemática:
. Portanto é ímpar (antissimétrico). - Observação prática para prova: o ponto médio tem
.
- Mostrar que
é par:
- Considere
. - Diferenciando,
- Mas já provamos
, então . - Assim
é constante. Avaliando em : , logo . - Portanto
. Ou seja, é par (simétrico).
Resumo dessa parte (matematicamente): se
é par então
Passo 5
Consequências físicas e práticas na prova para o caso simétrico:
- Como
é ímpar, tem . Logo o diagrama de cortante cruza o eixo horizontal no centro da viga. - Como
é par, o momento no centro costuma ser um extremo (máximo ou mínimo) do diagrama de momento, porque . Em muitos casos (por exemplo, cargas simétricas de tipo para baixo) isso será o máximo positivo de momento no centro. - Os diagramas são “espelho”: o lado direito é imagem espelhada do lado esquerdo — para momento os valores são iguais, para cortante os valores têm sinais opostos.
- Reações nos apoios (quando os apoios são simétricos): serão iguais (mesmo valor) — isso é útil para calcular reações sem repetir cálculo para cada lado.
- Em problemas de determinação de máximos de momento, basta analisar meia viga (de 0 a L/2) e refletir, reduzindo trabalho.
Passo 6
Exemplo mental rápido (para fixar): viga simply supported (apoio simples nas extremidades), com uma carga concentrada central (simétrica). O corte pela metade:
- O cortante à esquerda próximo ao centro tende a zero (porque às bordas do centro a força resultante das cargas de cada metade se equilibra), logo
. - O momento no centro é máximo e é o mesmo nos dois lados (diagrama de momento simétrico em torno do centro).
Passo 7
Caso 2 — cargas antissimétricas:
é ímpar (
).
Prova por paridade das propriedades de e
:
Prova por paridade das propriedades de
- Mostrar que
é par:
- Considere
. - Diferenciando,
- Usando
,
- Como
, temos . - Assim
é constante. Avaliando em : , segue . - Portanto
. Ou seja, é par (simétrico).
- Mostrar que
é ímpar:
- Considere
. - Diferenciando,
- Mas já provamos
, então . - Avaliando em
: . Em muitos problemas com carregamento ímpar e apoios simétricos a condição de equilíbrio e de ausência de momento concentrado no centro leva a (ex.: se o carregamento é estritamente ímpar e não há momento concentrado no centro), assim e . - Logo
. Ou seja, é ímpar (antissimétrico). - Em termos compactos: se
é ímpar então
Passo 8
Consequências físicas e práticas na prova para o caso antissimétrico:
- Como
é ímpar, tem . Portanto o momento no centro é nulo — o diagrama de momento cruza o eixo horizontal no centro. - Como
é par, o cortante no centro pode ser diferente de zero; o diagrama de cortante é simétrico (mesmo sinal e mesmo valor dos dois lados). - Reações nos apoios: para um carregamento ímpar a resultante global do carregamento pode ser zero (porque a distribuição tem áreas positivas e negativas que se anulam), então as reações podem ter sinais opostos; é preciso analisar caso a caso. O ponto importante é que as forças internas seguem as paridades provadas.
- Para localizar máximos de momento ou pontos de inflexão, observe que o centro não é extremum de
(já que ), então máximos costumam estar deslocados do centro.
Passo 9
Observações práticas, dicas de prova e interpretações intuitivas:
- Regra-mnemônica curta que funciona bem: “Se
é par → par, ímpar. Se é ímpar → ímpar, par.” Isso vem direto das relações diferenciais e propriedades de derivada (derivada de função par é ímpar, e vice-versa). - Sempre coloque a origem no centro para usar essas propriedades; se a viga não estiver centrada, primeiro redefina coordenadas.
- Use a simetria para economizar trabalho: com carregamento simétrico, calcule só a meia-viga (0 a L/2) e replique; com carregamento antissimétrico, calcule meia-viga e use os sinais apropriados.
- Em problemas com cargas concentradas (delta de Dirac / forças pontuais), o raciocínio de paridade ainda vale se tratar as descontinuidades corretamente: um ponto de carga par em
e outro igual em é um carregamento par; a presença de saltos em (saltos iguais e de sinais opostos) mantém as mesmas propriedades globais. - Se quiser afirmar que
para o caso par, verifique que não exista uma força concentrada exatamente no centro; se houver uma força pontual no centro, ela pode produzir um salto e pode não ser zero — nesse caso a paridade das funções ainda vale, porém a constante usada nas provas acima deve considerar o salto.
Resposta
Para cargas externas simétricas (
):
é ímpar (
, logo
) e
é par (
, logo
tem um extremo no centro).
Para cargas externas antissimétricas ( ):
é par (
, então
pode ser não nulo) e
é ímpar (
, logo
).
Para cargas externas antissimétricas (