3.8.14 Quais são as peculiaridades dos diagramas de momento fletor e de esforço cortante em uma viga simétrica sob forças externas simétricas? E no caso de forças externas antissimétricas?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Descrever as peculiaridades (propriedades) dos diagramas de momento fletor e de esforço cortante para uma viga simétrica quando as forças externas são simétricas.
  • Descrever o mesmo quando as forças externas são antissimétricas.
Informações / hipóteses usadas (implícitas no enunciado e que vou assumir explicitamente para poder raciocinar):
  • A viga é geometricamente simétrica em torno do ponto médio (por exemplo, eixo x=0 no meio da viga) e as condições de apoio são simétricas em relação a esse ponto (por exemplo, apoios idênticos à mesma distância do centro).
  • Vou introduzir um sistema de coordenadas com a origem no ponto médio da viga: o eixo x mede a posição ao longo da viga e +x para a direita, -x para a esquerda.
  • As cargas distribuídas são descritas por q(x) (força por unidade de comprimento), e diagramas de esforço cortante e momento fletor são funções V(x) e M(x).
  • Não há necessidade de um tipo específico de apoio para estabelecer as propriedades de paridade (desde que a viga e os apoios sejam simétricos).
O que vou mostrar depois:
  • Definições de “simétrico” (par = função par) e “antissimétrico” (ímpar = função ímpar) aplicadas às cargas.
  • As relações diferenciais entre q(x), V(x) e M(x).
  • Provas diretas (usando paridade) das propriedades dos diagramas.
  • Interpretação física e consequências úteis na hora da prova (valores no centro, máximos, reações, esboço mental).

Passo 2

Definições matemáticas de simetria (paridade) para usar depois:
  • Uma função f(x) é par (simétrica) se
f(-x)=f(x)\quad\text{para todo }x.
  • Uma função f(x) é ímpar (antissimétrica) se
f(-x)=-f(x)\quad\text{para todo }x.
Aplicando ao carregamento:
  • “Forças externas simétricas” significa que a carga distribuída satisfaz \,q(-x)=q(x)\, (isto é, q é par).
  • “Forças externas antissimétricas” significa que \,q(-x)=-q(x)\, (isto é, q é ímpar).

Passo 3

Relações diferenciais fundamentais (aulas rápidas sobre elas):
  • A equação que liga cortante V(x) à carga distribuída q(x) é:
\frac{dV}{dx} = -q(x).
  • Explicação: a taxa de variação do esforço cortante ao longo da viga é igual ao negativo da carga distribuída. Intuitivamente, uma carga para baixo faz o cortante diminuir quando avançamos no sentido +x.
  • A equação que liga momento M(x) ao cortante V(x) é:
\frac{dM}{dx} = V(x).
  • Explicação: a inclinação do diagrama de momento é dada pelo valor do cortante naquele ponto.
Obs.: essas duas fórmulas são as ferramentas principais para relacionar paridades entre q, V e M.

Passo 4

Caso 1 — cargas simétricas: q(x) é par ( q(-x)=q(x)).
Prova por paridade das propriedades de V(x) e M(x):
  1. Mostrar que V(x) é ímpar:
  • Considere a função W(x)=V(x)+V(-x).
  • Diferenciando,
W'(x)=V'(x)-V'(-x).
  • Usando V'=-q,
W'(x) = -q(x) - \bigl(-q(-x)\bigr) = -q(x)+q(-x).
  • Como q é par, q(-x)=q(x), portanto W'(x)=0.
  • Logo W(x) é constante. Avaliando em x=0: W(0)=V(0)+V(0)=2V(0). Se a viga e os apoios são simétricos, a resultante à esquerda e à direita ao centro costuma equilibrar de modo que V(0)=0 (argumento físico: para carregamento par os esforços cortantes nas duas metades se anulam no centro), então W(0)=0 e assim W(x)\equiv 0.
  • Conclusão matemática: V(x)+V(-x)=0\Rightarrow V(-x)=-V(x). Portanto V(x) é ímpar (antissimétrico).
  • Observação prática para prova: o ponto médio tem V(0)=0.
  1. Mostrar que M(x) é par:
  • Considere U(x)=M(x)-M(-x).
  • Diferenciando,
U'(x)=M'(x)+M'(-x)=V(x)+V(-x).
  • Mas já provamos V(x)+V(-x)=0, então U'(x)=0.
  • Assim U(x) é constante. Avaliando em x=0: U(0)=M(0)-M(0)=0, logo U(x)\equiv 0.
  • Portanto M(x)-M(-x)=0\Rightarrow M(x)=M(-x). Ou seja, M(x) é par (simétrico).
Resumo dessa parte (matematicamente): se q é par então
q\\ \text{par} \Rightarrow V\\ \text{ímpar},\qquad M\\ \text{par}.í

Passo 5

Consequências físicas e práticas na prova para o caso simétrico:
  • Como V(x) é ímpar, tem V(0)=0. Logo o diagrama de cortante cruza o eixo horizontal no centro da viga.
  • Como M(x) é par, o momento no centro M(0) costuma ser um extremo (máximo ou mínimo) do diagrama de momento, porque M'(0)=V(0)=0. Em muitos casos (por exemplo, cargas simétricas de tipo para baixo) isso será o máximo positivo de momento no centro.
  • Os diagramas são “espelho”: o lado direito é imagem espelhada do lado esquerdo — para momento os valores são iguais, para cortante os valores têm sinais opostos.
  • Reações nos apoios (quando os apoios são simétricos): serão iguais (mesmo valor) — isso é útil para calcular reações sem repetir cálculo para cada lado.
  • Em problemas de determinação de máximos de momento, basta analisar meia viga (de 0 a L/2) e refletir, reduzindo trabalho.

Passo 6

Exemplo mental rápido (para fixar): viga simply supported (apoio simples nas extremidades), com uma carga concentrada central (simétrica). O corte pela metade:
  • O cortante à esquerda próximo ao centro tende a zero (porque às bordas do centro a força resultante das cargas de cada metade se equilibra), logo V(0)=0.
  • O momento no centro é máximo e é o mesmo nos dois lados (diagrama de momento simétrico em torno do centro).

Passo 7

Caso 2 — cargas antissimétricas: q(x) é ímpar ( q(-x)=-q(x)).
Prova por paridade das propriedades de V(x) e M(x):
  1. Mostrar que V(x) é par:
  • Considere W(x)=V(x)-V(-x).
  • Diferenciando,
W'(x)=V'(x)+V'(-x).
  • Usando V'=-q,
W'(x) = -q(x) + \bigl(-q(-x)\bigr) = -q(x)-q(-x).
  • Como q(-x)=-q(x), temos W'(x) = -q(x)-(-q(x))=0.
  • Assim W(x) é constante. Avaliando em x=0: W(0)=V(0)-V(0)=0, segue W(x)\equiv 0.
  • Portanto V(x)-V(-x)=0\Rightarrow V(x)=V(-x). Ou seja, V(x) é par (simétrico).
  1. Mostrar que M(x) é ímpar:
  • Considere U(x)=M(x)+M(-x).
  • Diferenciando,
U'(x)=M'(x)-M'(-x)=V(x)-V(-x).
  • Mas já provamos V(x)=V(-x), então U'(x)=0.
  • Avaliando em x=0: U(0)=M(0)+M(0)=2M(0). Em muitos problemas com carregamento ímpar e apoios simétricos a condição de equilíbrio e de ausência de momento concentrado no centro leva a M(0)=0 (ex.: se o carregamento é estritamente ímpar e não há momento concentrado no centro), assim U(0)=0 e U(x)\equiv0.
  • Logo M(x)+M(-x)=0\Rightarrow M(-x)=-M(x). Ou seja, M(x) é ímpar (antissimétrico).
  • Em termos compactos: se q é ímpar então
q\\ \text{ímpar} \Rightarrow V\\ \text{par},\qquad M\\ \text{ímpar}.íí

Passo 8

Consequências físicas e práticas na prova para o caso antissimétrico:
  • Como M(x) é ímpar, tem M(0)=0. Portanto o momento no centro é nulo — o diagrama de momento cruza o eixo horizontal no centro.
  • Como V(x) é par, o cortante no centro V(0) pode ser diferente de zero; o diagrama de cortante é simétrico (mesmo sinal e mesmo valor dos dois lados).
  • Reações nos apoios: para um carregamento ímpar a resultante global do carregamento pode ser zero (porque a distribuição tem áreas positivas e negativas que se anulam), então as reações podem ter sinais opostos; é preciso analisar caso a caso. O ponto importante é que as forças internas seguem as paridades provadas.
  • Para localizar máximos de momento ou pontos de inflexão, observe que o centro não é extremum de M (já que M(0)=0), então máximos costumam estar deslocados do centro.

Passo 9

Observações práticas, dicas de prova e interpretações intuitivas:
  • Regra-mnemônica curta que funciona bem: “Se q é par → M par, V ímpar. Se q é ímpar → M ímpar, V par.” Isso vem direto das relações diferenciais e propriedades de derivada (derivada de função par é ímpar, e vice-versa).
  • Sempre coloque a origem no centro para usar essas propriedades; se a viga não estiver centrada, primeiro redefina coordenadas.
  • Use a simetria para economizar trabalho: com carregamento simétrico, calcule só a meia-viga (0 a L/2) e replique; com carregamento antissimétrico, calcule meia-viga e use os sinais apropriados.
  • Em problemas com cargas concentradas (delta de Dirac / forças pontuais), o raciocínio de paridade ainda vale se tratar as descontinuidades corretamente: um ponto de carga par em +a e outro igual em -a é um carregamento par; a presença de saltos em V (saltos iguais e de sinais opostos) mantém as mesmas propriedades globais.
  • Se quiser afirmar que V(0)=0 para o caso par, verifique que não exista uma força concentrada exatamente no centro; se houver uma força pontual no centro, ela pode produzir um salto e V(0) pode não ser zero — nesse caso a paridade das funções ainda vale, porém a constante usada nas provas acima deve considerar o salto.

Resposta

Para cargas externas simétricas ( q(-x)=q(x)): V(x) é ímpar ( V(-x)=-V(x), logo V(0)=0) e M(x) é par ( M(-x)=M(x), logo M tem um extremo no centro).
Para cargas externas antissimétricas ( q(-x)=-q(x)): V(x) é par ( V(-x)=V(x), então V(0) pode ser não nulo) e M(x) é ímpar ( M(-x)=-M(x), logo M(0)=0).

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