Por que uma viga de extremidades em apoios do segundo gênero e sob força inclinada é estaticamente determinada quanto ao momento fletor e ao esforço cortante, mas é estaticamente indeterminada quanto ao esforço normal?
Passo 1
O enunciado diz: há uma viga apoiada em suas duas extremidades por apoios “do segundo gênero” e submetida a uma força inclinada. A pergunta é: por que, para essa viga, o esforço cortante e o momento fletor são estaticamente determinados, enquanto o esforço normal é estaticamente indeterminado?
Informações relevantes (explicitadas para não deixar dúvida):
- Cada apoio de segunda espécie restringe as translações (horizontal e vertical) mas permite rotação. Então, em cada apoio há duas reações: uma horizontal e uma vertical.
- Há uma única força externa inclinada aplicada à viga; essa força tem uma componente horizontal
e uma componente vertical . - O que se pede é explicar por que os estados internos relacionados à verticalidade (esforço cortante
e momento fletor ) ficam determinados pelas equações de equilíbrio estático, enquanto o esforço normal (axial) não fica.
Passo 2
Modelagem das reações e contagem de incógnitas:
- Denotemos as reações nos apoios A e B por
(em A) e (em B), onde são as componentes horizontais e as verticais. - Então há quatro incógnitas de reação estática:
.
Explicação do porquê dessas variáveis: cada apoio de segunda espécie impede deslocamentos nas direções
e
, portanto gera uma reação em
e em
. Nenhum dos apoios fornece momento de reação (permitindo rotação).
Passo 3
Equações de equilíbrio do corpo rígido (plaço geral):
- Para um corpo plano há três equações de equilíbrio estático disponíveis:
- Aplicando essas equações ao conjunto viga+apoios, obtemos 3 equações para as 4 incógnitas
.
Consequência imediata: o sistema global é estaticamente redundante de ordem
(mais incógnitas do que equações): 4 incógnitas — 3 equações = 1 grau de indeterminação estática. Mas isso só diz que existe redudância no conjunto total de reações; não informa diretamente quais componentes são indeterminadas — vamos separar componentes horizontais e verticais.
Passo 4
Separação por componentes: decompondo a força inclinada em
e
- Componente vertical: as incógnitas verticais são apenas
e . Para elas existem exatamente duas equações independentes que envolvem apenas componentes verticais: -
(equilíbrio vertical), -
(equilíbrio de momentos, tomado por exemplo em A, envolve e as cargas verticais).
-
- Essas duas equações permitem resolver unicamente
e . Logo as reações verticais ficam determinadas estaticamente.
Interpretação interna: o esforço cortante
em qualquer seção é obtido somando as forças verticais à esquerda (ou à direita) da seção; como
e
são únicos, o diagrama de esforço cortante é único. O momento fletor
é integral (ou resultado de somas de momentos) das forças verticais e também fica único. Portanto
e
são estaticamente determinados.
Passo 5
Componente horizontal: por que é indeterminada
- As incógnitas horizontais são
e . A única equação que envolve as componentes horizontais é: - Há apenas essa equação para duas incógnitas. Assim não é possível, com a estática pura, determinar separadamente
e : existe uma infinidade de pares que satisfazem . - O esforço normal
ao longo da viga depende de como essa componente é repartida entre e : por exemplo, numa seção próxima ao apoio A o axial é dado por (considerando sinal convensão), e numa seção próxima a B será (dependendo do referencial). Como e não são unicamente determinados, também não é unívoco pela estática.
Passo 6
Intuição física e o papel da compatibilidade/rigidez
- Fisicamente, as duas reações horizontais existem porque ambos os apoios impedem deslocamentos na direção
. A repartição da força horizontal entre os apoios depende do modo como a viga (e as ligações à estrutura) se deformam axialmente — isto é, depende da rigidez axial da viga e de eventuais deslocamentos relativos impostas pelas restrições. - Para resolver
e é necessário acrescentar uma equação de compatibilidade de deformações (ou usar teoria da elasticidade / método dos deslocamentos). Em termos práticos: introduz-se uma reação redundante, impõe-se que a soma (ou diferença) de deslocamentos seja zero e relaciona-se as deslocamentos com as forças por leis constitutivas (por exemplo Lei de Hooke para o esforço axial), obtendo assim a equação extra que fecha o problema. - Em suma: a estática fornece todas as informações para as respostas associadas às componentes verticais (portanto para
e ), mas não para a distribuição das componentes horizontais — para isso é preciso análise de compatibilidade e rigidez (estática + deformações = estaticamente determinada).
Passo 7
Resumo prático tipo “receita de prova” (como responder rapidamente em prova)
- Conte as incógnitas: dois
e dois → 4 incógnitas. - Conte as equações de equilíbrio:
(plano) → 3 equações. - Separe vertical/horizontal:
- Verticais: 2 incógnitas
e 2 equações ( e ) → determinam → determinados. - Horizontais: 2 incógnitas
e 1 equação ( ) → indeterminação de ordem 1 → indeterminado estaticamente.
- Verticais: 2 incógnitas
- Se pedirem calcular
, diga: “é necessário usar compatibilidade / rigidez axial (método das reações redundantes ou análise por deformação)”.
Resposta
Porque as reações verticais
são resolvíveis unicamente pelas duas equações verticais (
e
), o que determina de maneira única o esforço cortante
e o momento fletor
; já as reações horizontais
aparecem como duas incógnitas com apenas uma equação (
), logo a distribuição da componente horizontal é indeterminada pela estática pura e o esforço normal
fica estaticamente indeterminado (é preciso usar compatibilidade/deformação e rigidez axial para fechar o problema).