Por que uma viga de extremidades em apoios do segundo gênero e sob força inclinada é estaticamente determinada quanto ao momento fletor e ao esforço cortante, mas é estaticamente indeterminada quanto ao esforço normal?

Passo 1

O enunciado diz: há uma viga apoiada em suas duas extremidades por apoios “do segundo gênero” e submetida a uma força inclinada. A pergunta é: por que, para essa viga, o esforço cortante e o momento fletor são estaticamente determinados, enquanto o esforço normal é estaticamente indeterminado?
Informações relevantes (explicitadas para não deixar dúvida):
  • Cada apoio de segunda espécie restringe as translações (horizontal e vertical) mas permite rotação. Então, em cada apoio há duas reações: uma horizontal e uma vertical.
  • Há uma única força externa inclinada aplicada à viga; essa força tem uma componente horizontal F_x e uma componente vertical F_y.
  • O que se pede é explicar por que os estados internos relacionados à verticalidade (esforço cortante V(x) e momento fletor M(x)) ficam determinados pelas equações de equilíbrio estático, enquanto o esforço normal N(x) (axial) não fica.

Passo 2

Modelagem das reações e contagem de incógnitas:
  • Denotemos as reações nos apoios A e B por H_A,\\ V_A (em A) e H_B,\\ V_B (em B), onde H são as componentes horizontais e V as verticais.
  • Então há quatro incógnitas de reação estática: H_A,\\ V_A,\\ H_B,\\ V_B.
Explicação do porquê dessas variáveis: cada apoio de segunda espécie impede deslocamentos nas direções x e y, portanto gera uma reação em x e em y. Nenhum dos apoios fornece momento de reação (permitindo rotação).

Passo 3

Equações de equilíbrio do corpo rígido (plaço geral):
  • Para um corpo plano há três equações de equilíbrio estático disponíveis: \sum F_x = 0,\qquad \sum F_y = 0,\qquad \sum M = 0.
  • Aplicando essas equações ao conjunto viga+apoios, obtemos 3 equações para as 4 incógnitas H_A,\\ V_A,\\ H_B,\\ V_B.
Consequência imediata: o sistema global é estaticamente redundante de ordem 1 (mais incógnitas do que equações): 4 incógnitas — 3 equações = 1 grau de indeterminação estática. Mas isso só diz que existe redudância no conjunto total de reações; não informa diretamente quais componentes são indeterminadas — vamos separar componentes horizontais e verticais.

Passo 4

Separação por componentes: decompondo a força inclinada em F_x e F_y
  • Componente vertical: as incógnitas verticais são apenas V_A e V_B. Para elas existem exatamente duas equações independentes que envolvem apenas componentes verticais:
    1. \sum F_y = 0 (equilíbrio vertical),
    2. \sum M = 0 (equilíbrio de momentos, tomado por exemplo em A, envolve V_B e as cargas verticais).
  • Essas duas equações permitem resolver unicamente V_A e V_B. Logo as reações verticais ficam determinadas estaticamente.
Interpretação interna: o esforço cortante V(x) em qualquer seção é obtido somando as forças verticais à esquerda (ou à direita) da seção; como V_A e V_B são únicos, o diagrama de esforço cortante é único. O momento fletor M(x) é integral (ou resultado de somas de momentos) das forças verticais e também fica único. Portanto V(x) e M(x) são estaticamente determinados.

Passo 5

Componente horizontal: por que é indeterminada
  • As incógnitas horizontais são H_A e H_B. A única equação que envolve as componentes horizontais é: \sum F_x = 0 \quad\Rightarrow\quad H_A + H_B = F_x.
  • Há apenas essa equação para duas incógnitas. Assim não é possível, com a estática pura, determinar separadamente H_A e H_B: existe uma infinidade de pares (H_A,H_B) que satisfazem H_A+H_B=F_x.
  • O esforço normal N(x) ao longo da viga depende de como essa componente F_x é repartida entre H_A e H_B: por exemplo, numa seção próxima ao apoio A o axial é dado por N(x)=H_A (considerando sinal convensão), e numa seção próxima a B será N(x)=-H_B (dependendo do referencial). Como H_A e H_B não são unicamente determinados, N(x) também não é unívoco pela estática.

Passo 6

Intuição física e o papel da compatibilidade/rigidez
  • Fisicamente, as duas reações horizontais existem porque ambos os apoios impedem deslocamentos na direção x. A repartição da força horizontal entre os apoios depende do modo como a viga (e as ligações à estrutura) se deformam axialmente — isto é, depende da rigidez axial EA da viga e de eventuais deslocamentos relativos impostas pelas restrições.
  • Para resolver H_A e H_B é necessário acrescentar uma equação de compatibilidade de deformações (ou usar teoria da elasticidade / método dos deslocamentos). Em termos práticos: introduz-se uma reação redundante, impõe-se que a soma (ou diferença) de deslocamentos seja zero e relaciona-se as deslocamentos com as forças por leis constitutivas (por exemplo Lei de Hooke para o esforço axial), obtendo assim a equação extra que fecha o problema.
  • Em suma: a estática fornece todas as informações para as respostas associadas às componentes verticais (portanto para V(x) e M(x)), mas não para a distribuição das componentes horizontais — para isso é preciso análise de compatibilidade e rigidez (estática + deformações = estaticamente determinada).

Passo 7

Resumo prático tipo “receita de prova” (como responder rapidamente em prova)
  • Conte as incógnitas: dois V e dois H → 4 incógnitas.
  • Conte as equações de equilíbrio: 3 (plano) → 3 equações.
  • Separe vertical/horizontal:
    • Verticais: 2 incógnitas V_A,V_B e 2 equações ( \sum F_y=0 e \sum M=0) → determinam V_A,V_B V(x),M(x) determinados.
    • Horizontais: 2 incógnitas H_A,H_B e 1 equação ( \sum F_x=0) → indeterminação de ordem 1 → N(x) indeterminado estaticamente.
  • Se pedirem calcular H_A,H_B, diga: “é necessário usar compatibilidade / rigidez axial (método das reações redundantes ou análise por deformação)”.

Resposta

Porque as reações verticais V_A,V_B são resolvíveis unicamente pelas duas equações verticais ( \sum F_y=0 e \sum M=0), o que determina de maneira única o esforço cortante V(x) e o momento fletor M(x); já as reações horizontais H_A,H_B aparecem como duas incógnitas com apenas uma equação ( \sum F_x=0), logo a distribuição da componente horizontal é indeterminada pela estática pura e o esforço normal N(x) fica estaticamente indeterminado (é preciso usar compatibilidade/deformação e rigidez axial para fechar o problema).

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