15.10‡ J. Sugar e A. Musgrove [J. Phys. Chem. Ref. Data 22, 1213 (1993)] publicaram tabelas com os níveis de energia de átomos de germânio e de
cations do Ge’ até o Ge’ { }^{31}. Os niveis de energia mais baixos dos átomos do Ge neutro sato:
\begin{array}{llllll} & { }^{1} \mathrm{P}_{0} & { }^{1} \mathrm{P}_{1} & \mathrm{P}_{2} & \mathrm{P}_{2}, \mathrm{P}, \mathrm{P} & \text { 1410,0 }\end{array} Calcule a função de partição eletrônica a 298 K e a 1000 K , por somação direta. Sugestāo: A degenerescência de um nível é 2 J+1.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a função de partição eletrônica do átomo neutro de germânio a 298\\ \text{K} e a 1000\\ \text{K} por somação direta. As informações importantes que o enunciado fornece (ou tenta fornecer) são:
  • Há uma lista de níveis eletrônicos (representados por termos {}^{2S+1}L_J) e aparentemente algum número «1410,0» associado.
  • A sugestão: a degenerescência de um nível é 2J+1.
  • Temperaturas solicitadas: T=298\\ \text{K} e T=1000\\ \text{K}.
Problema: o enunciado recebido está incompleto/ambíguo. Falta a lista clara e completa dos níveis de energia e seus valores numéricos (valores de energia relativos ao estado fundamental e unidades dessas energias — por exemplo, \mathrm{cm^{-1}} ou \mathrm{eV}). Sem essa lista de níveis com suas energias e valores de J não é possível fazer a somação direta e obter o valor numérico exato da função de partição eletrônica pedida.

Passo 2

O que é a função de partição eletrônica e a fórmula que vamos usar (aulas rápidas):
  • A função de partição eletrônica, denotada aqui por Z_{\text{el}}, é a soma de Boltzmann sobre todos os níveis eletrônicos:
Z_{\text{el}}=\sum_{i} g_i \, e^{-E_i/(k_B T)}.
  • Aqui:
    • i percorre todos os níveis eletrônicos.
    • g_i é a degenerescência do nível i. Pelo enunciado, g_i=2J_i+1, onde J_i é o momento angular total do nível i.
    • E_i é a energia do nível i medida em joules (J), sempre tomada relativa ao nível fundamental: o nível fundamental tem E_0=0.
    • k_B é a constante de Boltzmann, k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
    • T é a temperatura em kelvin.
Explicando com calma:
  • Cada termo da soma pesa a degenerescência g_i (quantas microestados têm a mesma energia) e o fator e^{-E_i/(k_B T)} (probabilidade relativa de ocupação por energia).
  • Na prática, para computar numericamente, precisa-se de g_i e de E_i em unidades compatíveis com k_B T (ou seja, J). Se os níveis são dados em \mathrm{cm^{-1}} (uma frequência/vibração típica em espectroscopia), converte-se por
E_i(\mathrm{J}) = h c\, \tilde{\nu}_i,
onde \tilde{\nu}_i é o número de onda em \mathrm{m^{-1}} (observe a conversão se o dado estiver em \mathrm{cm^{-1}}: \tilde{\nu}_i(\mathrm{m^{-1}})=100\cdot\tilde{\nu}_i(\mathrm{cm^{-1}})), h é a constante de Planck h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s} e c=299\,792\,458\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
  • Alternativamente, se as energias estiverem em \mathrm{eV}, usa-se 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} para converter.

Passo 3

Procedimento prático passo a passo para calcular Z_{\text{el}} numa prova (faça assim sem depender de calculadora avançada além de operações básicas):
  1. Obtenha a lista de níveis i com seus termos {}^{2S+1}L_{J_i} e as energias numéricas E_i (ou números de onda \tilde{\nu}_i em \mathrm{cm^{-1}}). Defina o nível fundamental com E_0=0.
  2. Calcule a degenerescência de cada nível: g_i=2J_i+1.
  3. Converta as energias para joules se necessário: E_i(\mathrm{J}) = h c \times (\text{valor em }\mathrm{m^{-1}}).Se o valor estiver em \mathrm{cm^{-1}}, multiplique por 100 para obter \mathrm{m^{-1}}.
  4. Calcule k_B T para a temperatura desejada ( k_B T em J).
  5. Para cada nível compute o termo g_i \exp\big(-E_i/(k_B T)\big).
  6. Some todos os termos: Z_{\text{el}}=\sum_i g_i \exp(-E_i/(k_B T)).
  7. Regra prática: níveis com E_i \gtrsim 10\,k_B T contribuem praticamente zero (porque e^{-10} já é muito pequeno). Então em muitos casos corta-se a soma após alguns níveis de baixa energia.

Passo 4

Demonstração numérica ilustrativa (exemplo prático) usando um dado parcial que aparece no enunciado: há um número que parece ser \,1410{,}0 (interpreto isso cautelosamente como 1410\\ \mathrm{cm^{-1}}, mas atenção: isso é uma suposição porque o enunciado está ambíguo — pode estar faltando sinal, unidades ou outros níveis). Vou mostrar como proceder se existisse apenas um primeiro nível excitado a 1410\\ \mathrm{cm^{-1}}, e supondo que seu termo é {}^{3}P_{1} (ou seja, J=1 — isto é UMA SUPOSIÇÃO para mostrar o cálculo). Se isso não corresponde aos seus dados, ignore este bloco e envie a lista correta.
Conversões e constantes (valores que usaremos):
h c = 6{,}62607015\times10^{-34}\times 299\,792\,458 \approx 1{,}98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Se \tilde{\nu}=1410\\ \mathrm{cm^{-1}}, então em \mathrm{m^{-1}} temos \tilde{\nu}=1410\times100=141000\\ \mathrm{m^{-1}}. Assim
E = h c \tilde{\nu} \approx 1{,}98644586\times10^{-25}\times141000 \approx 2{,}799\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
Agora k_B T:
k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Para T=298\\ \mathrm{K}:
k_B T \approx 1{,}380649\times10^{-23}\times298 \approx 4{,}114\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
\frac{E}{k_B T}\approx\frac{2{,}799\times10^{-20}}{4{,}114\times10^{-21}}\approx6{,}80.
e^{-E/(k_B T)}\approx e^{-6{,}80}\approx 0{,}0011.
Se o nível tem J=1 então g=2J+1=3 e a contribuição é 3\times0{,}0011\approx0{,}0033. Se o estado fundamental tiver g_0=1 (supondo J_0=0), então
Z_{\text{el}}(298\\ \mathrm{K})\approx 1 + 0{,}0033 = 1{,}0033.
  • Para T=1000\\ \mathrm{K}:
k_B T \approx 1{,}380649\times10^{-23}\times1000 = 1{,}380649\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
\frac{E}{k_B T}\approx\frac{2{,}799\times10^{-20}}{1{,}380649\times10^{-20}}\approx2{,}03.
e^{-E/(k_B T)}\approx e^{-2{,}03}\approx0{,}131.
Contribuição do nível com g=3: 3\times0{,}131\approx0{,}393. Assim
Z_{\text{el}}(1000\\ \mathrm{K})\approx 1 + 0{,}393 = 1{,}393.
Observações sobre este exemplo:
  • Estes valores são apenas ilustrativos e dependem das suposições feitas (que há apenas um nível excitado a 1410\\ \mathrm{cm^{-1}} e que esse nível tem J=1, e que o estado fundamental tem J=0). Se houver mais níveis baixos (muito comum para átomos pesados como Ge), eles devem ser incluídos e podem aumentar Z_{\text{el}}.
  • Portanto, os números acima NÃO são a resposta definitiva ao exercício; mostraram apenas como calcular quando se tem os dados completos.

Passo 5

Conclusão prática e o que falta para eu calcular de verdade:
  • Não é possível fornecer os valores numéricos exatos de Z_{\text{el}} a 298\\ \mathrm{K} e 1000\\ \mathrm{K} porque a lista completa de níveis de energia e suas energias (com unidades) não foi fornecida ou está ilegível no enunciado.
  • Para que eu calcule exatamente, envie a lista completa dos níveis eletrônicos com:
    • o termo {}^{2S+1}L_J (para obter J e então g=2J+1), e
    • a energia de cada nível dada em unidades claras (por exemplo, \mathrm{cm^{-1}} ou \mathrm{eV}), relativa ao nível fundamental (ou informe a energia do fundamental).
  • Assim que você mandar essa tabela (ou confirmar que o número 1410{,}0 está em \mathrm{cm^{-1}} e enviar os demais níveis), eu faço a somação direta passo a passo e te dou os valores exatos para as duas temperaturas — mostrando todas as contas como no exemplo acima.

Resposta

Não é possível calcular Z_{\text{el}} numericamente: faltam os valores completos e claros das energias dos níveis (lista de níveis com suas energias e unidades).

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