15.10‡ J. Sugar e A. Musgrove [J. Phys. Chem. Ref. Data 22, 1213 (1993)] publicaram tabelas com os níveis de energia de átomos de germânio e de
cations do Ge’ até o Ge’
. Os niveis de energia mais baixos dos átomos do Ge neutro sato:
Calcule a função de partição eletrônica a 298 K e a 1000 K , por somação direta. Sugestāo: A degenerescência de um nível é
.
cations do Ge’ até o Ge’
Passo 1
O enunciado pede: calcular a função de partição eletrônica do átomo neutro de germânio a
e a
por somação direta. As informações importantes que o enunciado fornece (ou tenta fornecer) são:
- Há uma lista de níveis eletrônicos (representados por termos
) e aparentemente algum número «1410,0» associado. - A sugestão: a degenerescência de um nível é
. - Temperaturas solicitadas:
e .
Problema: o enunciado recebido está incompleto/ambíguo. Falta a lista clara e completa dos níveis de energia e seus valores numéricos (valores de energia relativos ao estado fundamental e unidades dessas energias — por exemplo,
ou
). Sem essa lista de níveis com suas energias e valores de
não é possível fazer a somação direta e obter o valor numérico exato da função de partição eletrônica pedida.
Passo 2
O que é a função de partição eletrônica e a fórmula que vamos usar (aulas rápidas):
- A função de partição eletrônica, denotada aqui por
, é a soma de Boltzmann sobre todos os níveis eletrônicos:
- Aqui:
-
percorre todos os níveis eletrônicos. -
é a degenerescência do nível . Pelo enunciado, , onde é o momento angular total do nível . -
é a energia do nível medida em joules (J), sempre tomada relativa ao nível fundamental: o nível fundamental tem . -
é a constante de Boltzmann, . -
é a temperatura em kelvin.
-
Explicando com calma:
- Cada termo da soma pesa a degenerescência
(quantas microestados têm a mesma energia) e o fator (probabilidade relativa de ocupação por energia). - Na prática, para computar numericamente, precisa-se de
e de em unidades compatíveis com (ou seja, J). Se os níveis são dados em (uma frequência/vibração típica em espectroscopia), converte-se por
onde
é o número de onda em
(observe a conversão se o dado estiver em
:
),
é a constante de Planck
e
.
- Alternativamente, se as energias estiverem em
, usa-se para converter.
Passo 3
Procedimento prático passo a passo para calcular
numa prova (faça assim sem depender de calculadora avançada além de operações básicas):
- Obtenha a lista de níveis
com seus termos e as energias numéricas (ou números de onda em ). Defina o nível fundamental com . - Calcule a degenerescência de cada nível:
. - Converta as energias para joules se necessário:
Se o valor estiver em , multiplique por para obter . - Calcule
para a temperatura desejada ( em J). - Para cada nível compute o termo
. - Some todos os termos:
. - Regra prática: níveis com
contribuem praticamente zero (porque já é muito pequeno). Então em muitos casos corta-se a soma após alguns níveis de baixa energia.
Passo 4
Demonstração numérica ilustrativa (exemplo prático) usando um dado parcial que aparece no enunciado: há um número que parece ser
(interpreto isso cautelosamente como
, mas atenção: isso é uma suposição porque o enunciado está ambíguo — pode estar faltando sinal, unidades ou outros níveis). Vou mostrar como proceder se existisse apenas um primeiro nível excitado a
, e supondo que seu termo é
(ou seja,
— isto é UMA SUPOSIÇÃO para mostrar o cálculo). Se isso não corresponde aos seus dados, ignore este bloco e envie a lista correta.
Conversões e constantes (valores que usaremos):
Se
, então em
temos
. Assim
Agora
:
- Para
:
Se o nível tem
então
e a contribuição é
. Se o estado fundamental tiver
(supondo
), então
- Para
:
Contribuição do nível com
:
. Assim
Observações sobre este exemplo:
- Estes valores são apenas ilustrativos e dependem das suposições feitas (que há apenas um nível excitado a
e que esse nível tem , e que o estado fundamental tem ). Se houver mais níveis baixos (muito comum para átomos pesados como Ge), eles devem ser incluídos e podem aumentar . - Portanto, os números acima NÃO são a resposta definitiva ao exercício; mostraram apenas como calcular quando se tem os dados completos.
Passo 5
Conclusão prática e o que falta para eu calcular de verdade:
- Não é possível fornecer os valores numéricos exatos de
a e porque a lista completa de níveis de energia e suas energias (com unidades) não foi fornecida ou está ilegível no enunciado. - Para que eu calcule exatamente, envie a lista completa dos níveis eletrônicos com:
- o termo
(para obter e então ), e - a energia de cada nível dada em unidades claras (por exemplo,
ou ), relativa ao nível fundamental (ou informe a energia do fundamental).
- o termo
- Assim que você mandar essa tabela (ou confirmar que o número
está em e enviar os demais níveis), eu faço a somação direta passo a passo e te dou os valores exatos para as duas temperaturas — mostrando todas as contas como no exemplo acima.
Resposta
Não é possível calcular
numericamente: faltam os valores completos e claros das energias dos níveis (lista de níveis com suas energias e unidades).