15.13 Considere a consequência da utilizaçāo da versāo completa da aproximação de Stirling, x!\approx(2 \pi)^{1 / 2} x^{1+1 / 2} \mathrm{e}^{-x}, na dedução da expressão da distribuiçāo de maior peso. A utilização da aproximação mais exata tem um efeito significante na expressāo final da distribuiçāo de Boltzmann?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dado: a versão completa da aproximação de Stirling,
x!\approx(2\pi)^{1/2}x^{x+1/2}e^{-x},
ou, escrevendo em logaritmo (útil para contar microestados),
\ln(x!)\approx x\ln x - x + \tfrac{1}{2}\ln(2\pi x).
  • Contexto implícito (o procedimento padrão): para obter a distribuição de maior peso (distribuição de Boltzmann clássica) usa-se a multiplicidade combinatória para ocupações \{n_i\} de níveis de energia \{\varepsilon_i\}:
\Omega=\frac{N!}{\prod_i n_i!},
com restrições
\sum_i n_i = N,\qquad \sum_i n_i\varepsilon_i = E.
  • Pergunta: ao usar a versão mais exata de Stirling (incluindo o termo \tfrac{1}{2}\ln(2\pi x)), isso altera de forma significativa a expressão final da distribuição de Boltzmann?

Passo 2

Por que se usa \Omega e como se procede (explicação pedagógica):
  • Ideia física: entre todas as configurações \{n_i\} compatíveis com as restrições, a mais provável é aquela que maximiza \Omega. Trabalhar com \ln\Omega é mais simples numericamente e transforma produtos em somas.
  • Estratégia matemática: aproximar \ln N! e \ln n_i! por Stirling, formar \ln\Omega=\ln N!-\sum_i\ln n_i!, e então maximizar \ln\Omega sujeito às duas restrições usando multiplicadores de Lagrange. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Escrever \ln\Omega usando a forma completa de Stirling:
  • Escrevendo \ln\Omega:
\ln\Omega=\ln(N!) - \sum_i \ln(n_i!).
  • Aplicando a forma completa de Stirling a cada fatorial:
\ln(N!) \approx N\ln N - N + \tfrac{1}{2}\ln(2\pi N),
\ln(n_i!) \approx n_i\ln n_i - n_i + \tfrac{1}{2}\ln(2\pi n_i).
  • Portanto
\begin{aligned} \ln\Omega &\approx \big(N\ln N - N + \tfrac{1}{2}\ln(2\pi N)\big) - \sum_i\big(n_i\ln n_i - n_i + \tfrac{1}{2}\ln(2\pi n_i)\big)\\[4pt] &= N\ln N - \sum_i n_i\ln n_i \;+\; \tfrac{1}{2}\ln(2\pi N) - \tfrac{1}{2}\sum_i\ln(2\pi n_i), \end{aligned}
onde usei \sum_i n_i=N para cancelar os termos lineares em n_i.]

Passo 4

Preparar a maximização com multiplicadores de Lagrange (explicando o método):
  • Queremos maximizar \ln\Omega sujeito a \sum_i n_i=N e \sum_i n_i\varepsilon_i=E.
  • Introduzimos multiplicadores \alpha e \beta e consideramos a função
\mathcal{L}=\ln\Omega - \alpha\Big(\sum_i n_i - N\Big) - \beta\Big(\sum_i n_i\varepsilon_i - E\Big).
  • A condição de máximo é que as derivadas parciais em relação a cada n_i se anulem:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial n_i}=0\quad\text{para todo }i.

Passo 5

Calcular a derivada \partial\mathcal{L}/\partial n_i explicitamente (sem pular etapas):
  • Derivando \ln\Omega termo a termo:
    • \partial (N\ln N)/\partial n_i = 0 (é constante, pois N fixo).
    • \partial(- n_i\ln n_i)/\partial n_i = -(\ln n_i + 1). (Regra: \frac{d}{dx}(x\ln x)=\ln x +1.)
    • \partial\big(-\tfrac{1}{2}\ln(2\pi n_i)\big)/\partial n_i = -\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{n_i}. (Pois \ln(2\pi n_i)=\ln(2\pi)+\ln n_i.)
  • Somando e incluindo os multiplicadores:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial n_i} = -(\ln n_i + 1) - \tfrac{1}{2}\frac{1}{n_i} - \alpha - \beta\varepsilon_i = 0.
  • Rearranjando:
\ln n_i + 1 + \tfrac{1}{2n_i} + \alpha + \beta\varepsilon_i = 0.

Passo 6

Resolver a equação obtida e identificar o termo dominante (aulas sobre ordens de grandeza):
  • A equação exata para n_i é implícita:
\ln n_i = -1 - \alpha - \beta\varepsilon_i - \tfrac{1}{2n_i}.
  • Observe os termos: \ln n_i e o termo -\tfrac{1}{2n_i}. Para sistemas macroscópicos (onde cada n_i é grande, por exemplo n_i\sim 10^{20} ou similar), o termo \tfrac{1}{2n_i} é extremamente pequeno comparado a 1 e comparado a \ln n_i. Então, numa primeira aproximação, podemos desprezar \tfrac{1}{2n_i}.
  • Assim, para n_i grande:
\ln n_i \approx -1 - \alpha - \beta\varepsilon_i.
  • Exponenciando:
n_i \approx e^{-1-\alpha}\,e^{-\beta\varepsilon_i}.
  • Chamando A=e^{-1-\alpha} e interpretando \beta como o multiplicador associado à energia (na física \beta=1/(k_BT)), obtemos a forma familiar:
n_i \propto e^{-\beta\varepsilon_i},
que é a distribuição de Boltzmann (dependência exponencial em \varepsilon_i).

Passo 7

Ver qual é o efeito quantitativo do termo adicional de Stirling (interpretação dos termos subdominantes):
  • Se mantivermos o termo \tfrac{1}{2n_i}, a equação é ligeiramente modificada e dá, de forma implícita,
n_i = A\,e^{-\beta\varepsilon_i}\,e^{-\tfrac{1}{2n_i}}.
  • Expandindo para pequenas \tfrac{1}{n_i} (iterando ou usando expansão exponencial),
n_i \approx A\,e^{-\beta\varepsilon_i}\Big(1 - \tfrac{1}{2n_i} + \cdots\Big).
  • Isso mostra que a correção causada pelo termo \tfrac{1}{2}\ln(2\pi n_i) em \ln n_i! aparece como uma correção relativamentes pequena, tipicamente da ordem de 1/n_i no próprio n_i, ou como contribuições do tipo \tfrac{1}{2}\ln n_i em \ln\Omega. Em termos da entropia S=k_B\ln\Omega, esses são termos \propto \ln N (subdominantes frente ao termo extensivo \propto N).
  • Em palavras simples: o termo adicional muda um pouco os fatores prefatoriais (multiplicativos) e adiciona correções logarítmicas à entropia, mas não altera a dependência exponencial dominante e^{-\beta\varepsilon_i}.

Passo 8

Quando a correção pode ser relevante (limites de validade):
  • Para ocupações grandes (regime clássico extensivo), a correção é insignificante e a distribuição de Boltzmann na sua forma exponencial permanece válida.
  • Se alguns n_i forem pequenos (0,1,2) ou se o sistema for muito pequeno, a aproximação de Stirling inteira deixa de ser precisa; então essas correções podem importar e, em casos extremos, é preciso usar a contagem exata (ou considerar estatística quântica: Fermi-Dirac/Bose-Einstein).
  • Resumindo: a forma exponencial da distribuição é robusta; apenas fatores pré-exponenciais e termos de ordem \ln N na entropia são alterados pela versão completa de Stirling.

Passo 9

Resumo didático e incentivo (curto e animador):
  • Conclusão prática: ao deduzir a distribuição de Boltzmann para um sistema macroscópico, usar a versão completa de Stirling não muda o resultado principal — a dependência exponencial em \varepsilon_i. As diferenças aparecem só em fatores preditivos muito pequenos (correções 1/n_i ou termos logarítmicos na entropia).
  • Ponto motivador: na prova, quando os n_i são grandes, é seguro usar a versão simples de Stirling (ou só os termos x\ln x - x) para obter a distribuição; se quiser maior rigor, inclua o termo \tfrac{1}{2}\ln(2\pi x) e comente que ele traz apenas correções subdominantes.

Resposta

Não — a versão completa de Stirling acrescenta termos subdominantes (por exemplo \tfrac{1}{2}\ln(2\pi x) em \ln x!) que geram pequenas correções prefatoriais e termos \mathcal{O}(\ln N) na entropia, mas não altera a dependência exponencial dominante \;n_i\propto e^{-\beta\varepsilon_i}\; da distribuição de Boltzmann.

Exercícios relacionados