15.13 Considere a consequência da utilizaçāo da versāo completa da aproximação de Stirling,
, na dedução da expressão da distribuiçāo de maior peso. A utilização da aproximação mais exata tem um efeito significante na expressāo final da distribuiçāo de Boltzmann?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dado: a versão completa da aproximação de Stirling,
ou, escrevendo em logaritmo (útil para contar microestados),
- Contexto implícito (o procedimento padrão): para obter a distribuição de maior peso (distribuição de Boltzmann clássica) usa-se a multiplicidade combinatória para ocupações
de níveis de energia :
com restrições
- Pergunta: ao usar a versão mais exata de Stirling (incluindo o termo
), isso altera de forma significativa a expressão final da distribuição de Boltzmann?
Passo 2
Por que se usa
e como se procede (explicação pedagógica):
- Ideia física: entre todas as configurações
compatíveis com as restrições, a mais provável é aquela que maximiza . Trabalhar com é mais simples numericamente e transforma produtos em somas. - Estratégia matemática: aproximar
e por Stirling, formar , e então maximizar sujeito às duas restrições usando multiplicadores de Lagrange. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Escrever
usando a forma completa de Stirling:
- Escrevendo
:
- Aplicando a forma completa de Stirling a cada fatorial:
- Portanto
onde usei
para cancelar os termos lineares em
.]
Passo 4
Preparar a maximização com multiplicadores de Lagrange (explicando o método):
- Queremos maximizar
sujeito a e . - Introduzimos multiplicadores
e e consideramos a função
- A condição de máximo é que as derivadas parciais em relação a cada
se anulem:
Passo 5
Calcular a derivada
explicitamente (sem pular etapas):
- Derivando
termo a termo: -
(é constante, pois fixo). -
. (Regra: .) -
. (Pois .)
-
- Somando e incluindo os multiplicadores:
- Rearranjando:
Passo 6
Resolver a equação obtida e identificar o termo dominante (aulas sobre ordens de grandeza):
- A equação exata para
é implícita:
- Observe os termos:
e o termo . Para sistemas macroscópicos (onde cada é grande, por exemplo ou similar), o termo é extremamente pequeno comparado a 1 e comparado a . Então, numa primeira aproximação, podemos desprezar . - Assim, para
grande:
- Exponenciando:
- Chamando
e interpretando como o multiplicador associado à energia (na física ), obtemos a forma familiar:
que é a distribuição de Boltzmann (dependência exponencial em
).
Passo 7
Ver qual é o efeito quantitativo do termo adicional de Stirling (interpretação dos termos subdominantes):
- Se mantivermos o termo
, a equação é ligeiramente modificada e dá, de forma implícita,
- Expandindo para pequenas
(iterando ou usando expansão exponencial),
- Isso mostra que a correção causada pelo termo
em aparece como uma correção relativamentes pequena, tipicamente da ordem de no próprio , ou como contribuições do tipo em . Em termos da entropia , esses são termos (subdominantes frente ao termo extensivo ). - Em palavras simples: o termo adicional muda um pouco os fatores prefatoriais (multiplicativos) e adiciona correções logarítmicas à entropia, mas não altera a dependência exponencial dominante
.
Passo 8
Quando a correção pode ser relevante (limites de validade):
- Para ocupações grandes (regime clássico extensivo), a correção é insignificante e a distribuição de Boltzmann na sua forma exponencial permanece válida.
- Se alguns
forem pequenos (0,1,2) ou se o sistema for muito pequeno, a aproximação de Stirling inteira deixa de ser precisa; então essas correções podem importar e, em casos extremos, é preciso usar a contagem exata (ou considerar estatística quântica: Fermi-Dirac/Bose-Einstein). - Resumindo: a forma exponencial da distribuição é robusta; apenas fatores pré-exponenciais e termos de ordem
na entropia são alterados pela versão completa de Stirling.
Passo 9
Resumo didático e incentivo (curto e animador):
- Conclusão prática: ao deduzir a distribuição de Boltzmann para um sistema macroscópico, usar a versão completa de Stirling não muda o resultado principal — a dependência exponencial em
. As diferenças aparecem só em fatores preditivos muito pequenos (correções ou termos logarítmicos na entropia). - Ponto motivador: na prova, quando os
são grandes, é seguro usar a versão simples de Stirling (ou só os termos ) para obter a distribuição; se quiser maior rigor, inclua o termo e comente que ele traz apenas correções subdominantes.
Resposta
Não — a versão completa de Stirling acrescenta termos subdominantes (por exemplo
em
) que geram pequenas correções prefatoriais e termos
na entropia, mas não altera a dependência exponencial dominante
da distribuição de Boltzmann.