15.6 Um certo átomo tem um estado fundamental duplamente degenerado e um estado excitado, com degenerescência quádrupla,
acima do estado fundamental. Num feixe destes átomos observa-se que 30% estāo no estado excitado e que a temperatura de translação do feixe é de 300 K . Os estados eletrônicos desse átomo estāo em equilíbrio térmico com os seus estados de translação?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado):
- Estado fundamental com degenerescência
. - Estado excitado com degenerescência
. - Diferença de energia entre excitado e fundamental:
(ou seja, a energia é ). - No feixe, a fração observada no estado excitado é
. - A temperatura de translação do feixe é
.
O que a pergunta pede: verificar se os estados eletrônicos desse átomo estão em equilíbrio térmico com os estados de translação, isto é, se a população observada de
no estado excitado é compatível com a distribuição de Boltzmann à temperatura
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (a “aula rápida”): em equilíbrio térmico, a população de átomos no nível
é proporcional a
, onde:
-
é a degenerescência do nível , -
é a energia absoluta do nível , -
é a constante de Boltzmann, -
é a temperatura.
Para dois níveis (fundamental 1 e excitado 2) a fração
de átomos no nível excitado vale
onde
é o gap entre os níveis. Aqui vamos calcular
para
e comparar com
.
Passo 3
Converter a energia
de
para joules. A relação é
onde
. Usando constantes:
Primeiro calcule a energia associada a
:
Portanto
Passo 4
Calcular o fator exponencial em
. A constante de Boltzmann é
logo
Agora
e
Passo 5
Calcular a fração teórica
usando
e
:
Convertendo para porcentagem:
.
Comparação direta: a previsão de equilíbrio térmico a
dá
no estado excitado, mas o observado é
. Como
é significativamente maior que
, os estados eletrônicos não estão na população esperada para equilíbrio à temperatura de translação
.
Passo 6
Para quantificar: qual temperatura
faria
em equilíbrio? Começamos com a relação inversa. Defina a razão
Com
temos
. A partir da lei de Boltzmann,
Isolando o exponencial:
Tomando logaritmo:
Portanto
Usando
(vale lembrar que
), obtemos
Logo, para que
estivessem no estado excitado em equilíbrio, a temperatura deveria ser
, bem maior que
.
Passo 7
Interpretação física curta e incentivo: a discrepância indica que os graus de liberdade eletrônicos não estão térmicos com os de translação no feixe — provavelmente existe um processo não térmico populando o nível excitado (por exemplo excitação por colisões energéticas, bombeamento ótico, preparação do feixe, ou relaxação eletrônica lenta). Em resumo: não está em equilíbrio térmico com a temperatura de translação dada. Fica a dica: em provas, aplique sempre a fórmula de Boltzmann com degenerescências e cheque unidades (cm^{-1} → J) — isso resolve muita questão parecida!
Resposta
Não. A previsão de equilíbrio a
dá aproximadamente
no estado excitado, diferente dos
observados. A temperatura que daria
em equilíbrio é aproximadamente
.