15.24(b) Calcule a contribuiçāo vibracional à entropia do
a 600 K , sabendo que o número de onda vibracional é
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a contribuição vibracional à entropia do
à temperatura
. As informações fornecidas são:
- número de onda vibracional
, - a molécula é diatômica (logo tem uma única frequência vibracional ativa no modelo harmônico unidimensional que vamos usar).
Passo 2
Vamos usar o modelo do oscilador harmônico quântico para a vibração molecular. Para um modo vibracional (por mol de moléculas) a função de partição vibracional (por partícula) é
onde:
-
é a constante de Planck ( mede ação, unidades ), -
é a frequência vibracional (unidades ), -
é a constante de Boltzmann ( ), -
é a temperatura em kelvin.
A partir de
obtém-se a energia livre e daí a entropia. A fórmula prática (bem conhecida) para a entropia vibracional molar é
onde:
-
é a constante dos gases ( ), -
é a temperatura característica vibracional definida por .
Aqui a variável adimensional que aparece é
Explicando fisicamente: quando
é grande (modo “congelado”),
é pequeno; quando
(modo quase clássico),
cresce.
Passo 3
O enunciado dá o número de onda
em
. A relação entre número de onda e frequência é
, com
a velocidade da luz. Assim
É muito prático usar a constante de conversão
(valor padrão). Então
Substituindo
obtemos
Passo 4
Calcular a variável adimensional
:
Interpretação rápida:
é da ordem de
, então o modo vibracional está parcialmente excitado — a contribuição vibracional à entropia não é nem desprezível nem no limite clássico.
Passo 5
Agora avaliamos numericamente a fórmula de
. Primeiro calculamos as quantidades intermediárias:
Somando os dois termos do parêntese da fórmula:
Finalmente multiplicamos por
:
Passo 6
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas apropriadas para este problema) temos