15.11(a) A constante rotacional do
é
. Calcule a função de partição rotacional explicitamente (sem aproximações, mas ignorando a contribuição da estatística dos movimentos nucleares), e faça o seu gráfico em funçāo da temperatura. Para qual temperatura o seu valor apresenta um desvio de 5% em relação ao valor calculado pela fórmula aproximada?
Passo 1
O enunciado dá uma constante rotacional do
e pede três coisas:
- Calcular explicitamente a função de partição rotacional (sem aproximações quânticas contínuas, mas ignorando estatística nuclear).
- Fazer o gráfico de
em função da temperatura. - Determinar para qual temperatura o valor exato apresenta um desvio de
em relação ao valor obtido pela fórmula aproximada (classical/high- ).
Informações fornecidas:
- Constante rotacional (em números de onda):
.
O que vou usar / pressupor (não resolve ainda, só enumero):
- A energia rotacional quantizada para um rotor rígido esférico é proporcional a
. - A degenerescência por nível para um top esférico (como
, tetraédrico) sem contar estatística nuclear é . - Deve-se incluir o número de simetria
no divisor do particionamento rotacional (para , ). - Conversão entre
em e energia térmica usa (temperatura rotacional).
Passo 2
Montar a expressão quântica exata da função de partição rotacional.
Explicando a teoria, passo a passo:
- Para um rotor rígido cuja energia dos níveis depende apenas de
por , é conveniente introduzir a temperatura rotacional
pois assim a energia em unidades de
fica
. Aqui:
-
é a constante de Planck (J·s), -
é a velocidade da luz (m/s), -
é a constante rotacional em , -
é a constante de Boltzmann (J/K). - A função de partição rotacional quântica, sem estatística nuclear, para um top esférico com número de simetria
é a soma (sobre ) das contribuições de cada nível:
onde
é a degenerescência do nível
. Para um top esférico (energia só depende de
) a degenerescência é
já que as funções de rotação são as matrizes de Wigner
com
elementos por representação
.
- Para
usamos (simetria tetraédrica).
Portanto a expressão explícita é
Passo 3
Calcular numericamente a temperatura rotacional
a partir de
.
Passos e constantes (números mostrados para aprender a fazer na prova):
- Energia correspondente a
é . - Valores numéricos usados:
-
, -
, -
.
-
- Então
por . - Logo
Resumo numérico útil para a prova:
.
Passo 4
Escrever a função de partição com o valor numérico de
.
Substituindo
e
no formato final, obtemos a expressão prática que deve ser somada term a term:
Explicação prática: para calcular
na prova sem máquina, some termos até que os termos seguintes sejam desprezíveis (por exemplo quando o expoente já é grande e o termo é
do acumulado). Para
somar até
já dá boa precisão; para
mais baixo precisa de menos termos (só
podem dominar).
Passo 5
Apresentar a fórmula aproximada (clássica / alta temperatura) que será a referência para comparar o desvio.
Teoria rápida:
- Para um rotor não-linear clássico (três momentos de inércia), a fórmula aproximada é
- No caso de top esférico
, então
- Para
(com e ):
Essa é a expressão que vamos comparar com a soma quântica exata para achar o ponto onde a diferença relativa é
.
Passo 6
Cálculo numérico de exemplo (mostrar como construir o gráfico e comparar). Vou mostrar alguns valores representativos para entender o comportamento e construir o gráfico mental / na prova.
Procedimento: para cada
calcular
, somar os termos
até convergência e então
. Calcular também
e a diferença relativa
Alguns valores calculados (mostro soma termo a termo resumida, para aprender a fazer rápido na prova): (os cálculos abaixo seguem a receita do Passo 4)
-
Para
( ): - Somando
obtém-se e . - Aproximação:
. - Diferença relativa
(aproximação falha bastante em baixa ).
- Somando
-
Para
( ): -
. -
. -
.
-
-
Para
( ): -
. -
. -
.
-
-
Para
( ): -
. -
. -
.
-
-
Para
( ): - Aproximação dá já muita precisão;
bem menor (algumas percentagens ou menos).
- Aproximação dá já muita precisão;
Interpretação e gráfico:
- O gráfico de
sobe monoticamente com e, em escala log-log, tende ao comportamento clássico para . - Para traçar o gráfico na prova sem máquina, compute
por soma em uns poucos pontos (por exemplo ) e interpole suavemente; para a curva já está muito próxima da .
Como encontrar a temperatura de desvio
:
- A partir dos valores acima vemos que
e (cálculo mais fino mostrado abaixo), enquanto . - Fazendo interpolação linear entre
(erro ) e (erro ) encontra-se o ponto onde :
Portanto a temperatura em que a fórmula aproximada difere do valor exato em
é cerca de
.
Passo 7
Instruções práticas finais para a prova (como desenhar o gráfico e checar erros):
- Calcule
como no Passo 3. - Use a expressão do Passo 4 e some termos até convergir (para cada
escolher até que a contribuição do próximo seja muito pequena). - Plote os pontos calculados; sobreponha a curva
do Passo 5 para visualizar o desvio. - Para encontrar o
de faça uma busca por tentativa e interpolação linear entre dois pontos próximos (como eu fiz entre e ).