15.13(b) Dê os números de simetria para cada uma das moléculas a seguir: (a)
, (b)
, (c)
, (d)
e (e)
.
Passo 1
O enunciado pede: dê os números de simetria para cada uma das moléculas listadas. As moléculas fornecidas são:
- (a)
- (b)
- (c)
- (d)
- (e)
Passo 2
O que é o “número de simetria”
(explicação didática)?
- Definição prática:
é o número de orientações equivalentes que a molécula pode assumir apenas por rotações próprias (rotações no espaço, sem reflexões ou inversões) de modo que a molécula fique indistinguível — isto é, que as posições dos átomos idênticos se sobreponham a outras posições idênticas. - Forma operacional: determinar o grupo de rotações próprias (subgrupo de rotações do grupo ponto) e contar quantos elementos ele tem. Assim podemos escrever
onde
é o conjunto das rotações próprias que deixam a molécula indistinta. Explico com cuidado: contar
(identidade) e todas as rotações
não-estritamente-impropriedade; não se contam reflexões
, centros de inversão
ou rotações impróprias
.
- Intuição simples para provas rápidas: identifique átomos idênticos e veja por quais rotações eles podem ser permutados entre si sem mudar a molécula. O número total de permutações obtidas por rotações próprias (incluindo a identidade) é
.
Passo 3
Aplicação passo a passo em
.
- Geometria:
é linear e simétrica, com arranjo e os dois oxigênios idênticos nas extremidades. - Operações de rotação próprias que trocam átomos equivalentes: existe a identidade
e existe uma rotação de que troca os dois oxigênios (pense numa rotação de em torno de um eixo perpendicular que passa pelo carbono — isso efetivamente inverte as extremidades). Não há uma rotação própria de ordem 3 que produza mais permutações de oxigênios idênticos. - Conclusão: o conjunto de rotações próprias que produzem orientações equivalentes tem
elementos ( e a rotação que troca os oxigênios). Portanto para .
Passo 4
Aplicação passo a passo em
(ozônio).
- Geometria:
é uma molécula angular (não linear), com dois átomos terminais equivalentes e um átomo central (arranjo em forma de “V”). - Grupo de simetria relevante:
em sua forma plana é do grupo pontual . - Operações próprias que trocam átomos equivalentes: a identidade
e uma rotação de em torno do eixo (que passa pelo átomo central e é perpendicular ao plano da molécula) trocam os dois átomos terminais. Reflexões espelho existem, mas não devem ser contadas para . - Conclusão: há
rotações próprias que deixam a molécula indistinta, logo para .
Passo 5
Aplicação passo a passo em
.
- Geometria:
é planar e trigonal, com o enxofre no centro e três oxigênios equivalentes formando um triângulo equilátero ao redor do enxofre (arranjo trigonal plano). - Grupo de simetria relevante:
. O elemento que nos interessa para é a rotação em torno do eixo que passa pelo enxofre e é perpendicular ao plano: rotações de e permutam os três oxigênios. - Contagem: as rotações próprias que dão orientações equivalentes são
, (120°) e (240°) — total de elementos. - Conclusão:
para .
Passo 6
Aplicação passo a passo em
.
- Geometria:
é um octaedro regular (enxofre no centro, seis flúor nos vértices de um octaedro) — ponto grupo . - Método de contagem explícita (didático): o grupo de rotações próprias do octaedro (o grupo
) tem ordem . Podemos decompor essas rotações próprias assim: -
: identidade (1 elemento). - Rotações de
em torno dos três eixos passando por faces opostas (três eixos , cada um fornece 3 rotações não-triviais) → elementos. - Rotações de
em torno dos seis eixos que passam por arestas opostas ( de aresta) → elementos. - Rotações de
e em torno dos quatro eixos que passam por vértices opostos ( ) → elementos. - Soma:
.
-
- Conclusão: o número de rotações próprias que levam a
a orientações indistinguíveis é .
Passo 7
Aplicação passo a passo em
.
- Estrutura e geometria:
é o dímero do cloreto de alumínio. A estrutura consiste em duas unidades ligadas por duas pontes de cloro (dois cloros de ponte), formando uma espécie de “ponte dupla” entre os dois átomos de alumínio. A conformação no estado molecular isolado tem simetria aproximadamente (uma estrutura plana ou quase plana com três eixos mutuamente perpendiculares). - Operações de rotação próprias relevantes: no grupo
as rotações próprias são a identidade e três rotações de em torno de eixos mutuamente perpendiculares; reflexões e inversões existem em mas não entram em . - Contagem direta:
mais as três rotações dão um total de rotações próprias. - Conclusão:
para .
Passo 8
Pequeno lembrete útil para prova (motivação): quando for calcular constantes termodinâmicas que usam a função de partição rotacional (por exemplo, a entropia ou o calor específico usando o fator de correção por indistinguibilidade rotacional), use a
correta: divida a função de partição rotacional por
. Saber identificar o ponto do grupo e contar apenas rotações próprias costuma ser suficiente para obter
rapidamente.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)