15.14(a) Calcule a função de partição de rotação do eteno a
. Sabe-se que
e
. Considere o número de simetria da molécula.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei estes números do enunciado).
- Dados numéricos (constantes rotacionais, em unidades de
): -
- Temperatura pedida:
. - O enunciado pede: calcular a função de partição rotacional do eteno
, considerando o número de simetria da molécula. - Informação adicional necessária (a usar na resolução): o eteno (
) é uma molécula não linear com eixo que gera duas orientações indistinguíveis por rotação de ; por isso usarei o número de simetria .
Passo 2
Qual fórmula vou usar e por quê (explicação didática).
- Para uma molécula não linear rígida, no limite de altas temperaturas (quando as separações entre níveis rotacionais são muito menores que
), a aproximação clássica dá a função de partição rotacional aproximada por
onde:
-
é o número de simetria rotacional (inteiro; divide o número de orientações equivalentes), -
é a constante de Boltzmann, -
é a constante de Planck, -
velocidade da luz, -
temperatura em kelvin, -
são as constantes rotacionais expressas em . - Explicação das variáveis:
tem unidades de (energia térmica convertida em unidades compatíveis com ), por isso a razão é adimensional; a potência surge porque um rotor não linear tem 3 graus de liberdade rotacionais (volume efetivo no espaço de momento angular cresce como ), e o fator vem da integração da distribuição clássica dos momentos angulares. - Observação prática: esta fórmula é muito usada em provas; é preciso verificar que o limite de alta temperatura é válido, i.e.
é muito maior que . Vou checar isso numericamente.
Passo 3
Calcular o fator
e
numericamente (valores úteis).
- Constante conhecida:
. (essa é uma constante útil: transforma em .) - Portanto
- Comparação com as constantes rotacionais:
. Como , a aproximação de alta temperatura é perfeitamente adequada aqui.
Passo 4
Reescrever a fórmula de forma prática e preparar o cálculo.
- Vou usar diretamente a forma
- Já sei
(expliquei a escolha no Passo 1). - Já calculei
. - Preciso calcular
e .
Passo 5
Calcular
.
- Primeiro a raiz quadrada:
- Então
Passo 6
Calcular
.
- Produto das constantes rotacionais:
- Raiz quadrada:
Passo 7
Montar e avaliar numericamente
.
- Primeiro calcule o numerador com o fator
:
- Dividindo pela
:
- Finalmente dividindo pelo número de simetria
:
Passo 8
Interpretação e verificação de ordem de grandeza
- O valor obtido
é razoável para uma pequena molécula não linear a , já que os estados rotacionais estão bem acessíveis (constantes rotacionais em poucas unidades de vs ). - Reforçando: a principal fonte de aproximação aqui é o limite de alta temperatura (válido), e a escolha
(devido ao eixo do eteno) é a que se usa para cálculo da partição rotacional.