15.14 Uma amostra, com cinco moléculas, tem a energia total 5 \varepsilon. Cada molécula pode ocupar estados de energia j \varepsilon, c o m j=0,1,2 \ldots. (a) Calcule o peso da configuração que apresenta as moléculas distribuidas uniformemente entre os estados disponiveis. (b) Organize uma tabela coma energia dos estados e todas as configurações compatíveis com a energia total. Calcule os pesos de cada configuração e identifique as configurações mais prováveis.

Passo 1

O enunciado e o que ele pede (peguei tudo do enunciado):
  • Há uma amostra com cinco moléculas (portanto exatamente 5 partículas).
  • Cada molécula pode ocupar estados de energia j\varepsilon com j=0,1,2,\ldots.
  • A energia total da amostra é 5\varepsilon.
    O enunciado pede:
    (a) calcular o peso (multiplicidade) da configuração em que as moléculas estão distribuídas uniformemente entre os estados disponíveis (isto é, a distribuição em que cada molécula tem mesma energia, compatível com a energia total);
    (b) listar (fazer uma tabela com) todas as configurações compatíveis com a energia total 5\varepsilon, calcular o peso de cada configuração e identificar as configurações mais prováveis.

Passo 2

Entender o que chamamos de “configuração” e “peso” aqui.
  • Uma microconfiguração (microestado) é a atribuição de um nível j a cada molécula individual (por exemplo: molécula 1 tem j=2, molécula 2 tem j=0, …). As moléculas são tratadas como distinguíveis para contar microestados (cada molécula é identificável).
  • Uma configuração (macroestado) será caracterizada pelo número de moléculas em cada nível de energia: n_0,n_1,n_2,n_3,n_4,n_5,\dots com duas condições: \sum_{j\ge0} n_j = 5 \qquad\text{e}\qquad \sum_{j\ge0} j\,n_j = 5.
  • O “peso” (ou multiplicidade) de um macroestado dado pelos ocupantes n_j é o número de microestados que correspondem a essa distribuição de ocupações. Como as moléculas são distinguíveis, o número de maneiras de atribuir as ocupações é o coeficiente multinomial \text{peso}=\frac{5!}{\prod_{j\ge0} n_j!}.
Vou explicar essa fórmula com calma:
  • Imagina que tens 5 fichas numeradas (as moléculas). Queres escolher quais fichas vão para o nível j=0 (serão n_0 fichas), quais vão para j=1 ( n_1 fichas), etc. O número de formas de fazer isso é exatamente o número de permutações das 5 fichas dividido pelas permutações internas entre as fichas que ficam no mesmo nível: 5!/(n_0!n_1!\cdots). É o mesmo raciocínio do multinomial.

Passo 3

Antes de listar macrostates é útil saber o total de microestados possíveis (todas as atribuições (j_1,\dots,j_5) com soma dos j_i igual a 5). Outra forma de ver isso: é o número de soluções não-negativas inteiras de
j_1+j_2+j_3+j_4+j_5 = 5,
onde a ordem importa (porque moléculas são distinguíveis). Pelo princípio das “barras e estrelas” (stars and bars) o número de soluções com ordem relevante (aqui cada tupla (j_1,\dots,j_5) é uma microconfiguração) é
\binom{5+5-1}{5} = \binom{9}{5} = 126.
Explicando stars-and-bars rapidamente: distribuir 5 unidades (quanta de energia, indistinguíveis) entre 5 caixas (moléculas distintas) tem \binom{5+5-1}{5} soluções. Assim o total de microestados compatíveis com a energia total é 126. Isso será útil para calcular probabilidades relativas.

Passo 4

Resolver (a): o que significa “distribuídas uniformemente entre os estados disponíveis” quando a energia total é 5\varepsilon e há 5 moléculas?
  • A interpretação natural é que cada molécula recebe a mesma energia, ou seja cada molécula tem energia 1\varepsilon (pois 5\varepsilon/5=1\varepsilon). Assim a configuração uniforme é a que tem todas as cinco moléculas no nível j=1.
  • Para essa configuração as ocupações são n_1=5,\quad n_j=0\\ \text{para } j\ne1.
  • O peso (multiplicidade) dessa configuração é, pela fórmula multinomial, \text{peso}_{\text{uniforme}}=\frac{5!}{5!}=1.
Interpretação: há exatamente uma microconfiguração (a tupla (1,1,1,1,1)) em que todas as moléculas têm j=1.

Passo 5

Preparar-se para (b): precisamos enumerar todas as soluções inteiras não-negativas de
\sum_{j\ge0} n_j = 5,\qquad \sum_{j\ge0} j\,n_j = 5.
Observação prática: níveis com j\ge6 não podem aparecer porque já 1 partícula com j\ge6 daria energia \ge6\varepsilon, maior que o total. Portanto só precisamos dos j=0,1,2,3,4,5.
Vou procurar todas as combinações possíveis de n_1,n_2,n_3,n_4,n_5 que satisfaçam a equação de energia e então determinar n_0=5-(n_1+\dots+n_5). Faço isso sistematicamente por casos do maior nível presente.

Passo 6

Enumerando as configurações (caso a caso) e calculando o peso de cada uma.
  • Caso n_5=1. Então a energia já é 5 e todos os outros n_j=0 para j\ge1. Logo n_0=4.
    • Ocupações: (n_0,n_1,n_2,n_3,n_4,n_5)=(4,0,0,0,0,1).
    • Peso: \dfrac{5!}{4!1!}=5.
  • Caso n_4=1. Resta 1 de energia que só pode vir de um único j=1. Então n_1=1 e n_0=3.
    • Ocupações: (3,1,0,0,1,0).
    • Peso: \dfrac{5!}{3!1!1!}=20.
  • Caso n_3=1. Restam 2 unidades de energia que podem ser obtidas de duas maneiras:
    • (i) n_2=1 e n_1=0, então n_0=3.
      • Ocupações: (3,0,1,1,0,0).
      • Peso: \dfrac{5!}{3!1!1!}=20.
    • (ii) n_1=2 e n_2=0, então n_0=2.
      • Ocupações: (2,2,0,1,0,0).
      • Peso: \dfrac{5!}{2!2!1!}=30.
  • Caso n_2 maior que 1:
    • n_2=2 consome 4 unidades; então precisa de mais 1 vindo de n_1=1. Assim n_0=2.
      • Ocupações: (2,1,2,0,0,0).
      • Peso: \dfrac{5!}{2!1!2!}=30.
    • n_2=1 já coberto no caso anterior n_2=1,n_1=3 abaixo.
  • Caso n_1=3 e n_2=1. Isso dá energia 3\cdot1+1\cdot2=5 e n_0=1.
    • Ocupações: (1,3,1,0,0,0).
    • Peso: \dfrac{5!}{1!3!1!}=20.
  • Caso n_1=5 (todas com j=1). Já tratado no Passo 4, mas para completar:
    • Ocupações: (0,5,0,0,0,0).
    • Peso: \dfrac{5!}{5!}=1.
Essas são todas as combinações possíveis porque qualquer outro conjunto teria soma de energia maior que 5 ou não usaria exatamente 5 partículas. Verificação rápida: somando todos os pesos obtidos teremos o total de microestados 126.

Passo 7

Organizo agora os resultados numa “tabela” enumerada (cada linha é uma configuração distinta), calculando também a probabilidade relativa (peso dividido por 126) para facilitar a identificação das mais prováveis.
  1. (n_0,n_1,n_2,n_3,n_4,n_5)=(4,0,0,0,0,1). Peso =5. Probabilidade =5/126.
  2. (3,1,0,0,1,0). Peso =20. Probabilidade =20/126.
  3. (3,0,1,1,0,0). Peso =20. Probabilidade =20/126.
  4. (2,2,0,1,0,0). Peso =30. Probabilidade =30/126.
  5. (2,1,2,0,0,0). Peso =30. Probabilidade =30/126.
  6. (1,3,1,0,0,0). Peso =20. Probabilidade =20/126.
  7. (0,5,0,0,0,0). Peso =1. Probabilidade =1/126.
Verificação da soma dos pesos:
5+20+20+30+30+20+1 = 126,
que bate com o total de microestados encontrado antes.

Passo 8

Identificação das configurações mais prováveis:
  • As maiores multiplicidades são 30, encontradas em duas configurações:
    • Configuração A: (n_0,n_1,n_2,n_3,n_4,n_5)=(2,2,0,1,0,0) — isto é: uma molécula em j=3, duas em j=1 e duas em j=0.
    • Configuração B: (2,1,2,0,0,0) — isto é: duas moléculas em j=2, uma em j=1 e duas em j=0.
  • Cada uma tem probabilidade relativa \frac{30}{126}=\frac{5}{21}\approx0{,}2381.
  • Em seguida vêm as configurações de peso 20 (três delas), depois a de peso 5 e, por fim, a distribuição uniforme (todas com j=1) que tem peso 1 — portanto a mais improvável entre as compatíveis.

Resposta

(a) \text{peso}_{\text{uniforme}}=1.
(b) Lista de configurações (n_0,n_1,n_2,n_3,n_4,n_5) com peso e probabilidade:
(4,0,0,0,0,1) — peso =5, prob. =5/126
(3,1,0,0,1,0) — peso =20, prob. =20/126
(3,0,1,1,0,0) — peso =20, prob. =20/126
(2,2,0,1,0,0) — peso =30, prob. =30/126
(2,1,2,0,0,0) — peso =30, prob. =30/126
(1,3,1,0,0,0) — peso =20, prob. =20/126
(0,5,0,0,0,0) — peso =1, prob. =1/126
Configurações mais prováveis: (2,2,0,1,0,0) e (2,1,2,0,0,0), cada uma com peso 30 (prob. 30/126=5/21).

Exercícios relacionados