15.17(b) Calcule a função de partição de vibração do \mathrm{Cl}_{4} a 500 K . São dados os seguintes números de onda: 178 \mathrm{~cm}^{-1} (estiramento simétrico, A), 90 \mathrm{~cm}^{-1} (deformação, E), 555 \mathrm{~cm}^{-1} (deformação, T) e 125 \mathrm{~cm}^{-1} (deformação, T).
Passo 1
O que o problema pede e os dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
Pedido: calcular a função de partição de vibração à temperatura T=500\\ \mathrm{K}.
Modos vibracionais fornecidos (número de onda \tilde{\nu} em \mathrm{cm}^{-1} e sua representação de simetria):
\tilde{\nu}_A = 178\\ \mathrm{cm}^{-1} (simetria A)
Informação importante extraída das notações de simetria (multiplicidades/degenerações):
A é não degenerado \Rightarrow multiplicidade g_A=1.
E é dupla \Rightarrow multiplicidade g_E=2.
T é tripla \Rightarrow multiplicidade g_T=3.
Portanto há quatro valores de \tilde{\nu} com multiplicidades 1,2,3,3 respectivamente (soma das multiplicidades = 9, compatível com um sistema de 3N-6=9 modos vibracionais para \mathrm{CCl}_4).
Passo 2
Fórmula usada e explicação das constantes (aulas rápidas, sem pânico).
Para um modo vibracional tratado como oscilador harmônico quântico, a função de partição do modo i é
q_i=\frac{1}{1-\exp\!\left(-\dfrac{h c \tilde{\nu}_i}{kT}\right)}.
Aqui:
h é a constante de Planck (unidades: \mathrm{J\cdot s}).
c é a velocidade da luz (em \mathrm{cm\\ s^{-1}} se \tilde{\nu}_i está em \mathrm{cm}^{-1}).
\tilde{\nu}_i é o número de onda do modo i (em \mathrm{cm}^{-1}).
k é a constante de Boltzmann (em \mathrm{J\\ K^{-1}}).
T é a temperatura (em \mathrm{K}).
Como os modos têm degeneração g_i, a contribuição total desse modo é q_i^{\,g_i}.
A função de partição vibracional total é o produto sobre todos os modos:
q_{\mathrm{vib}}=\prod_i q_i^{\,g_i}=\prod_i\left[\frac{1}{1-\exp\!\left(-\dfrac{h c \tilde{\nu}_i}{kT}\right)}\right]^{g_i}.
Para evitar ficar manipulando h,c,k separadamente, usamos a constante combinada
(Na prova: calcule cada x_i com x_i=\dfrac{1,438776877\,\tilde{\nu}_i}{T}, depois calcule \exp(-x_i) e q_i. Se não tiver calculadora, faça aproximações ou tabule os exponenciais; aqui usei arredondamentos razoáveis.)
Passo 4
Produto final: multiplico as contribuições de cada modo (mostrando produto parcial para manter controle).
Primeiro calculei os termos elevados às suas multiplicidades: