15.18(b) Um certo átomo tem um nível fundamental duplamente degenerado, um nível eletrônico excitado, triplamente degenerado a
, e um nivel duplamente degenerado a
. Calcule a função de partição desses estados eletrônicos a 2000 K .
Passo 1
O enunciado dá três níveis eletrônicos (com energias relativas e degenerações) e pede a função de partição eletrônica desses estados à temperatura
.
Informações do enunciado (peguei estes dados do enunciado):
- Nível fundamental: degenerescência
e energia escolhida como referência . - Primeiro nível excitado: degenerescência
e energia . - Segundo nível excitado: degenerescência
e energia . - Temperatura:
.
O que é pedido:
- Calcular a função de partição eletrônica
contendo apenas esses três níveis, à temperatura dada.
Passo 2
Vou escrever a fórmula que usamos e explicar cada símbolo.
A função de partição discreta para níveis eletrônicos é
onde:
-
é a função de partição (adimensional); -
percorre os níveis considerados; -
é a degenerescência (número de subníveis com a mesma energia) do nível ; -
é a energia absoluta do nível (em joules); -
é a constante de Boltzmann ( ); -
é a temperatura em kelvin.
Aqui temos três termos:
Como escolhemos
, o primeiro termo é simplesmente
.
Passo 3
Explicar como passar das unidades
para o expoente adimensional
.
Para um nível com número de onda
(em
) a energia é
onde
é a constante de Planck e
é a velocidade da luz. Dividindo por
obtemos
É conveniente usar a constante de conversão
Com isso o expoente fica simples quando
está em
:
Aqui:
-
é em , -
em , - o quociente é adimensional e entra no exponencial.
Passo 4
Calcular os expoentes para cada nível excitado usando
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Calcular os fatores exponenciais
.
Para o nível de
:
Para o nível de
:
(Usei aproximações numéricas com precisão compatível para uma resposta prática em prova.)
Passo 6
Multiplicar cada exponencial pela degenerescência e somar os termos com o nível fundamental.
Contribuições de cada nível:
- Nível fundamental:
. - Primeiro excitado (
): - Segundo excitado (
):
Somando:
Passo 7
Interpretação curta (para a prova): a função de partição eletrônica para só esses três níveis a
é aproximadamente
. Isso significa que, em média, há cerca de 4 estados eletrônicos “acessíveis” termicamente (pesados pela ocupação de Boltzmann) quando se considera a degenerescência.