15.18(b) Um certo átomo tem um nível fundamental duplamente degenerado, um nível eletrônico excitado, triplamente degenerado a 1250 \mathrm{~cm}^{-1}, e um nivel duplamente degenerado a 1300 \mathrm{~cm}^{-1}. Calcule a função de partição desses estados eletrônicos a 2000 K .

Passo 1

O enunciado dá três níveis eletrônicos (com energias relativas e degenerações) e pede a função de partição eletrônica desses estados à temperatura 2000\\ \mathrm{K}.
Informações do enunciado (peguei estes dados do enunciado):
  • Nível fundamental: degenerescência g_0=2 e energia escolhida como referência E_0=0.
  • Primeiro nível excitado: degenerescência g_1=3 e energia 1250\\ \mathrm{cm^{-1}}.
  • Segundo nível excitado: degenerescência g_2=2 e energia 1300\\ \mathrm{cm^{-1}}.
  • Temperatura: T=2000\\ \mathrm{K}.
O que é pedido:
  • Calcular a função de partição eletrônica Z contendo apenas esses três níveis, à temperatura dada.

Passo 2

Vou escrever a fórmula que usamos e explicar cada símbolo.
A função de partição discreta para níveis eletrônicos é
Z=\sum_{i} g_i \, e^{-E_i/(k_B T)},
onde:
  • Z é a função de partição (adimensional);
  • i percorre os níveis considerados;
  • g_i é a degenerescência (número de subníveis com a mesma energia) do nível i;
  • E_i é a energia absoluta do nível i (em joules);
  • k_B é a constante de Boltzmann ( k_B\approx1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}});
  • T é a temperatura em kelvin.
Aqui temos três termos:
Z = g_0 e^{-E_0/(k_B T)} + g_1 e^{-E_1/(k_B T)} + g_2 e^{-E_2/(k_B T)}.
Como escolhemos E_0=0, o primeiro termo é simplesmente g_0\cdot 1.

Passo 3

Explicar como passar das unidades \mathrm{cm^{-1}} para o expoente adimensional E/(k_B T).
Para um nível com número de onda \tilde{\nu} (em \mathrm{cm^{-1}}) a energia é
E = hc\tilde{\nu},
onde h é a constante de Planck e c é a velocidade da luz. Dividindo por k_B T obtemos
\frac{E}{k_B T}=\frac{hc\tilde{\nu}}{k_B T}.
É conveniente usar a constante de conversão
\frac{hc}{k_B}\approx 1{,}438777\\ \mathrm{cm\cdot K}.
Com isso o expoente fica simples quando \tilde{\nu} está em \mathrm{cm^{-1}}:
\frac{E}{k_B T}=\frac{1{,}438777\\ \tilde{\nu}}{T}.
Aqui:
  • \tilde{\nu} é em \mathrm{cm^{-1}},
  • T em \mathrm{K},
  • o quociente é adimensional e entra no exponencial.

Passo 4

Calcular os expoentes para cada nível excitado usando T=2000\\ \mathrm{K}.
Para \tilde{\nu}_1=1250\\ \mathrm{cm^{-1}}:
\frac{E_1}{k_B T}=\frac{1{,}438777\times1250}{2000} = \frac{1{,}438777\times0{,}625}{1} =0{,}899235625.
Para \tilde{\nu}_2=1300\\ \mathrm{cm^{-1}}:
\frac{E_2}{k_B T}=\frac{1{,}438777\times1300}{2000} = \frac{1{,}438777\times0{,}65}{1} =0{,}93520505.

Passo 5

Calcular os fatores exponenciais e^{-E_i/(k_B T)}.
Para o nível de 1250\\ \mathrm{cm^{-1}}:
e^{-E_1/(k_B T)}=e^{-0{,}899235625}\approx0{,}406887.
Para o nível de 1300\\ \mathrm{cm^{-1}}:
e^{-E_2/(k_B T)}=e^{-0{,}93520505}\approx0{,}392418.
(Usei aproximações numéricas com precisão compatível para uma resposta prática em prova.)

Passo 6

Multiplicar cada exponencial pela degenerescência e somar os termos com o nível fundamental.
Contribuições de cada nível:
  • Nível fundamental: g_0 e^{-E_0/(k_B T)} = 2\cdot 1 = 2.
  • Primeiro excitado ( 1250\\ \mathrm{cm^{-1}}): g_1 e^{-E_1/(k_B T)} = 3\times0{,}406887 = 1{,}220661.
  • Segundo excitado ( 1300\\ \mathrm{cm^{-1}}): g_2 e^{-E_2/(k_B T)} = 2\times0{,}392418 = 0{,}784836.
Somando:
Z = 2 + 1{,}220661 + 0{,}784836 = 4{,}005497.

Passo 7

Interpretação curta (para a prova): a função de partição eletrônica para só esses três níveis a 2000\\ \mathrm{K} é aproximadamente 4{,}01. Isso significa que, em média, há cerca de 4 estados eletrônicos “acessíveis” termicamente (pesados pela ocupação de Boltzmann) quando se considera a degenerescência.

Resposta

\displaystyle Z \approx 4{,}01

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