15.18(a) Um certo átomo tem um nivel fundamental com degenerescência igual a três, um nível eletrônico excitado, não degenerado, a
, e um nível triplamente degenerado, a
. Calcule a função de partição desses estados eletrônicos a 1900 K .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
-
Dados do problema (peguei esses números do enunciado):
- Nível fundamental: degenerescência
e energia (tomamos como zero de referência). - Primeiro nível excitado: degenerescência
e energia dada por (wavenumber). - Segundo nível excitado: degenerescência
e energia dada por . - Temperatura:
.
- Nível fundamental: degenerescência
-
O que o enunciado pede:
- Calcular a função de partição eletrônica desses estados a
.
- Calcular a função de partição eletrônica desses estados a
Passo 2
O que é a função de partição discreta e como a vamos calcular.
- A função de partição (para níveis discretos com degenerescência) é a soma das contribuições de cada nível, ponderadas pela degenerescência e pelo fator de Boltzmann:
Aqui:
-
é a função de partição; -
é a degenerescência do nível (número de subníveis com mesma energia); -
é a energia absoluta do nível (em joules); -
é a constante de Boltzmann; -
é a temperatura em kelvin. -
Observação sobre unidades: o enunciado deu energias em números de onda
(em ). A relação entre energia e número de onda é
onde
é a constante de Planck e
a velocidade da luz. Assim o expoente que aparece na função de partição pode ser escrito como
com
O valor numérico conhecido (útil quando
está em
e
em
) é
Logo, para cada nível dado por
em
,
Passo 3
Aplicar a fórmula aos níveis do enunciado e calcular os fatores exponenciais.
- Escrevendo explicitamente a soma para os três níveis:
Como
e
, isso simplifica para
-
Calcular cada expoente numérico usando
e . - Para
:
Portanto- Para
:
Portanto - Para
(Se essas exponenciais parecerem pequenas: é esperado — níveis com centenas a milhares de
estão bem acima da energia térmica a temperaturas da ordem de mil kelvin, então suas populações relativas são pequenas.)
Passo 4
Calcular as contribuições ponderadas pela degenerescência e somar para obter
.
-
Contribuições:
- Nível fundamental:
. - Primeiro excitado:
. - Segundo excitado:
.
- Nível fundamental:
-
Soma:
Passo 5
Interpretação rápida (para te dar confiança na resposta):
- A maior parte da população está no nível fundamental (por isso
está perto de ). - As contribuições dos níveis excitados são pequenas, mas não nulas; por isso o valor final fica em torno de
. - Em prova, basta escrever a expressão de
em termos de e , calcular os expoentes e somar — como fizemos passo a passo.