15.18(a) Um certo átomo tem um nivel fundamental com degenerescência igual a três, um nível eletrônico excitado, não degenerado, a 3500 \mathrm{~cm}^{-1}, e um nível triplamente degenerado, a 4700 \mathrm{~cm}^{-1}. Calcule a função de partição desses estados eletrônicos a 1900 K .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados do problema (peguei esses números do enunciado):
    • Nível fundamental: degenerescência g_0=3 e energia E_0=0 (tomamos como zero de referência).
    • Primeiro nível excitado: degenerescência g_1=1 e energia dada por \tilde{\nu}_1=3500\\ \mathrm{cm^{-1}} (wavenumber).
    • Segundo nível excitado: degenerescência g_2=3 e energia dada por \tilde{\nu}_2=4700\\ \mathrm{cm^{-1}}.
    • Temperatura: T=1900\\ \mathrm{K}.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a função de partição eletrônica desses estados a 1900\\ \mathrm{K}.

Passo 2

O que é a função de partição discreta e como a vamos calcular.
  • A função de partição (para níveis discretos com degenerescência) é a soma das contribuições de cada nível, ponderadas pela degenerescência e pelo fator de Boltzmann:
Z=\sum_{i} g_i \exp\!\left(-\dfrac{E_i}{k_B T}\right).
Aqui:
  • Z é a função de partição;
  • g_i é a degenerescência do nível i (número de subníveis com mesma energia);
  • E_i é a energia absoluta do nível i (em joules);
  • k_B é a constante de Boltzmann;
  • T é a temperatura em kelvin.
  • Observação sobre unidades: o enunciado deu energias em números de onda \tilde{\nu} (em \mathrm{cm^{-1}}). A relação entre energia e número de onda é
E = h c \tilde{\nu},
onde h é a constante de Planck e c a velocidade da luz. Assim o expoente que aparece na função de partição pode ser escrito como
\dfrac{E}{k_B T}=\dfrac{h c \tilde{\nu}}{k_B T} = \dfrac{c_2\,\tilde{\nu}}{T},
com
c_2=\dfrac{h c}{k_B}.
O valor numérico conhecido (útil quando \tilde{\nu} está em \mathrm{cm^{-1}} e T em \mathrm{K}) é
c_2 \approx 1{,}4387769\\ \mathrm{cm\cdot K}.
Logo, para cada nível dado por \tilde{\nu}_i em \mathrm{cm^{-1}},
\exp\!\left(-\dfrac{E_i}{k_B T}\right)=\exp\!\left(-\dfrac{c_2\,\tilde{\nu}_i}{T}\right).

Passo 3

Aplicar a fórmula aos níveis do enunciado e calcular os fatores exponenciais.
  • Escrevendo explicitamente a soma para os três níveis:
Z = g_0 \exp\!\left(-\dfrac{c_2\tilde{\nu}_0}{T}\right) + g_1 \exp\!\left(-\dfrac{c_2\tilde{\nu}_1}{T}\right) + g_2 \exp\!\left(-\dfrac{c_2\tilde{\nu}_2}{T}\right).
Como \tilde{\nu}_0=0 e g_0=3, isso simplifica para
Z = 3 + g_1 \exp\!\left(-\dfrac{c_2\tilde{\nu}_1}{T}\right) + g_2 \exp\!\left(-\dfrac{c_2\tilde{\nu}_2}{T}\right).
  • Calcular cada expoente numérico usando c_2=1{,}4387769\\ \mathrm{cm\cdot K} e T=1900\\ \mathrm{K}.
    1. Para \tilde{\nu}_1=3500\\ \mathrm{cm^{-1}}:
    x_1=\dfrac{c_2\tilde{\nu}_1}{T} =\dfrac{1{,}4387769\times 3500}{1900} =\dfrac{5035{,}71915}{1900} \approx 2{,}650906.
    Portanto
    \exp(-x_1)\approx \exp(-2{,}650906)\approx 0{,}0706.
    1. Para \tilde{\nu}_2=4700\\ \mathrm{cm^{-1}}:
    x_2=\dfrac{c_2\tilde{\nu}_2}{T} =\dfrac{1{,}4387769\times 4700}{1900} =\dfrac{6762{,}25143}{1900} \approx 3{,}558026.
    Portanto
    \exp(-x_2)\approx \exp(-3{,}558026)\approx 0{,}0285.
(Se essas exponenciais parecerem pequenas: é esperado — níveis com centenas a milhares de \mathrm{cm^{-1}} estão bem acima da energia térmica a temperaturas da ordem de mil kelvin, então suas populações relativas são pequenas.)

Passo 4

Calcular as contribuições ponderadas pela degenerescência e somar para obter Z.
  • Contribuições:
    • Nível fundamental: g_0\exp(0)=3.
    • Primeiro excitado: g_1\exp(-x_1)=1\times 0{,}0706\approx 0{,}0706.
    • Segundo excitado: g_2\exp(-x_2)=3\times 0{,}0285\approx 0{,}0855.
  • Soma:
Z \approx 3 + 0{,}0706 + 0{,}0855 = 3{,}1561\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Interpretação rápida (para te dar confiança na resposta):
  • A maior parte da população está no nível fundamental (por isso Z está perto de g_0=3).
  • As contribuições dos níveis excitados são pequenas, mas não nulas; por isso o valor final fica em torno de 3{,}16.
  • Em prova, basta escrever a expressão de Z em termos de \tilde{\nu} e c_2, calcular os expoentes e somar — como fizemos passo a passo.

Resposta

Z \approx 3{,}156

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