15.20(a) O spin do elétron pode ter uma de duas orientações num campo magnético, e as respectivas energias sāo
, em que
é o magnéton de Bohr. Deduza as expressões da função de partição, da energia média do elétron, e esboce o gráfico da variação da função de partição e da energia média com
. Calcule a razão entre as populações dos dois estados do spin a (a)
, (b) 298 K , sendo
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- O elétron tem dois estados de spin em presença de um campo magnético
com energias . Aqui é o magnéton de Bohr. - Valores numéricos a usar para as contas finais:
e temperaturas e . - Constantes físicas que serão usadas: o magnéton de Bohr
e a constante de Boltzmann (valores numéricos serão introduzidos mais adiante).
- O elétron tem dois estados de spin em presença de um campo magnético
-
O que o enunciado pede:
- Deduza a expressão da função de partição do elétron.
- Deduza a expressão da energia média do elétron (valor esperado da energia térmica).
- Esboce (descreva) o comportamento dos gráficos de
e da energia média quando varia. - Calcule a razão entre as populações dos dois estados do spin para (a)
e (b) , com .
Passo 2
Deduza a função de partição
.
-
Conceito rápido (aula curta): a função de partição canônica para um sistema discreto em equilíbrio térmico a temperatura
é a soma das contribuições de cada estado . Essa soma dá o fator de normalização que permite obter probabilidades e grandezas termodinâmicas. -
Aplicando ao nosso caso: existem dois estados com energias
(spin alinhado, menor energia) e (spin anti-alinhado, maior energia). Definimos . Assim,Simplificando, -
Interpretação:
depende apenas do parâmetro adimensional .
Passo 3
Deduza a energia média
do elétron.
-
Duas formas equivalentes (explico as duas para você escolher a que preferir na prova):
- Valor esperado direto:
. - Fórmula termoestática:
. Essa é prática porque relaciona energia média diretamente com .
- Valor esperado direto:
-
Vou usar a forma 2 ( curta e elegante ), mas mostro também que dá o mesmo que a forma 1.Usando
, Diferenciando em relação a, Portanto -
Checagem via valor esperado direto: calcular
também leva à mesma expressão (pode verificar expandindo e simplificando usando as hiperbólicas). -
Observação sobre paridade: como função de
, depende de de forma que o produto é uma função par de ; portanto é negativa para e simétrica em (o valor médio depende do módulo do campo).
Passo 4
Probabilidades e razão entre populações.
-
Probabilidade de ocupar cada nível (regra de Boltzmann):
-
Razão entre populações do estado de menor energia (
) e do de maior energia ( ): (Aquie são números proporcionais às probabilidades nos estados.) -
Essa é uma fórmula importante e simples de memorizar: a diferença de ocupação entre dois níveis separados por
é .
Passo 5
Esboço (descrição) dos gráficos de
e de
quando
varia.
-
Defina
. -
Função de partição:
- Em
(ou ) temos . - Para pequenos
, , logo : comportamento quadrático próximo de . - Para
grande, , então cresce exponencialmente com . - Portanto gráfico de
em função de : simétrico em relação a , mínimo em , e cresce monotonicamente para ambos os lados conforme aumenta.
- Em
-
Energia média:
- Em
(ou ), logo . - Para pequenos
, , então : variação quadrática em próxima de zero (negativa). - Para
grande, , então : a energia média tende a um limite linear negativo em (saturação quando quase toda a população está no nível mais baixo). - Resultado:
é uma função simétrica em (depende de ), começa em zero, fica negativa com crescimento em módulo com e tende a para campos muito grandes.
- Em
Passo 6
Preparando as contas numéricas (valores das constantes e fórmula para cálculo).
- Valores das constantes (usados nas contas; estes são os valores recomendados):
- É útil calcular primeiro a razão
(unidade: K/T): - Assim o parâmetro adimensional é
Com , temos (com em kelvin).
Passo 7
Cálculos numéricos para os dois casos pedidos.
- Caso (a):
, . Razão de populações: Função de partição: Energia média:
- Caso (b):
, . Razão de populações: Função de partição: Energia média:
Passo 8
Interpretação física rápida e incentivo.
- Conclusão física: para campos moderados (
) e temperatura ambiente a diferença de ocupação entre os dois estados é muito pequena ( a mais no estado de menor energia), enquanto a baixas temperaturas ( ) essa diferença já fica significativa ( a mais no estado de menor energia). Isso explica por que efeitos magnéticos por alinhamento de spins aparecem mais facilmente a baixas temperaturas. - Você está indo bem — memorize as fórmulas-chave
, e a razão ; com elas você resolve rápido qualquer variação desse problema na prova.
Resposta
(a)
(b)