15.20(b) O spin do núcleo do nitrogênio pode ter qualquer de três orientações num campo magnético, e as respectivas energias sāo
, em que
é a razão giromagnética do núcleo. Deduza as expressões da função de partição, da energia média do núcleo, e esboce o gráfico da variação da função de partição e da energia média com B. Calcule a razão entre as populações dos estados do spin em (a)
, (b) 298 K , quando
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados do enunciado:
- O núcleo do nitrogênio tem três orientações magnéticas com energias
. - A razão giromagnética do núcleo é
(usar o valor típico para : , daí ). - Vamos chamar
(energia característica da separação dos níveis). - Constantes que usarei:
e . - Valor do campo magnético para os cálculos numéricos:
. - Temperaturas pedidas: (a)
e (b) .
- O núcleo do nitrogênio tem três orientações magnéticas com energias
-
O que o enunciado pede:
- Deduza a função de partição do núcleo.
- Deduza a energia média do núcleo.
- Esboce (descreva) a variação da função de partição e da energia média com
. - Calcule a razão entre as populações dos estados do spin em (a)
e (b) para .
A partir daqui eu vou fazer a dedução passo a passo, explicando cada conceito indicado.
Passo 2
Construção da função de partição usando fatores de Boltzmann — ideia e notação.
-
Lembrete prático: em mecânica estatística, para um sistema em equilíbrio térmico à temperatura
a probabilidade relativa de um nível de energia é proporcional a , onde . A função de partição é a soma desses pesos sobre todos os estados: . A partir de obtém-se probabilidades normalizadas e grandezas termodinâmicas como energia média. -
Aqui os três níveis têm energias
, com . Então:
(escrevendo explicitamente cada termo de Boltzmann).
- Desenvolvendo:
reconhecendo a função hiperbólica cosseno:
Isto é a expressão pedida para a função de partição. Aqui
e
.
Passo 3
Cálculo da energia média
por interpretação direta e por derivada — ambas equivalentes.
Método 1 (definição direta):
- A energia média é a soma ponderada das energias pelos seus pesos de probabilidade:
Substituindo
:
Usando a definição de seno hiperbólico
, isto pode ser reescrito como
Método 2 (derivada da função de partição) — para conhecer a técnica:
- Em estatística canônica vale
. - Tomando
e derivando:
logo
o mesmo resultado obtido pelo método direto.
Comentário didático rápido: essa expressão mostra que
tem sinal negativo (para
e
), pois o nível de energia mais baixo é
e tende a ser ligeiramente mais povoado. A magnitude depende de
.
Passo 4
Comportamento limite e esboço (descrição) das curvas
e
.
-
Antes, note que
. Assim, para um fixo a variação com está toda em . -
Limite
( , níveis quase degenerados): -
, então . Em particular quando . -
, então , que tende a . Ou seja, sem campo as populações são iguais e a energia média é zero.
-
-
Limite
(campos muito grandes ou temperaturas muito baixas): -
domina, então e . Isso significa que, em campos muito fortes ou T muito baixa, o estado de menor energia ( ) fica praticamente totalmente povoado e a média tende a essa energia mínima.
-
-
Esboço qualitativo das curvas (descrição, para desenhar na prova):
- Gráfico de
versus (para fixo): começa em e, conforme aumenta, cresce monotonamente (porque cresce), inicialmente quase plano (variação quadraticamente pequena para campos pequenos) e depois aumenta exponencialmente quando fica grande. - Gráfico de
versus : começa em , decresce (mais negativo) de forma suave; para campos grandes tende assintoticamente a . Se desenhar em função de , a curva desce de zero e aproxima a linha por cima (assintoticamente).
- Gráfico de
Passo 5
Cálculos numéricos para
: obtenção de
, de
em cada temperatura, e das razões de população.
-
Primeiro calculemos
. - Tomando
, e :
- Tomando
-
Agora
. - Para
:
- Para
:
- Para
-
Razões de população (não normalizadas) e probabilidades normalizadas:
- Em equilíbrio canônico as populações relativas dos três níveis seguem
- Podemos calcular numericamente esses fatores e depois normalizar
se quisermos probabilidades.
-
Caso (a)
( ):-
(usando série ou calculadora), -
. - Razões relativas:
. - Normalizando (dividindo por
) obtemos probabilidades: - Ou em forma de razões relativas normalizadas (aproximações):
.
-
-
Caso (b)
( ):-
, -
. - Razões relativas:
. - Normalizando (
quase exatamente) obtemos probabilidades: - Em forma de razões normalizadas:
.
-
-
Observação interpretativa: mesmo a
as diferenças de população são muito pequenas porque o momento magnético nuclear é pequeno; somente a baixíssimas temperaturas extremas ou campos extremamente grandes a polarização nuclear ficaria significativa. Aqui, em a diferença é da ordem de entre níveis adjacentes; em é da ordem de .
Passo 6
Cálculo numérico rápido da energia média nos dois casos (opcional, para intuir a escala):
- Fórmula conveniente:
- Para
com :-
, -
, -
-
- Para
com :-
, -
-
Escala: energia média extremamente pequena, consistente com populações quase iguais.
Resposta
(a) Para
(b) Para