15.191 Um disco de raio r gira com velocidade angular constante \omega_{2} em torno do braço A B C, que por sua vez gira com velocidade constante \omega_{1} em torno do eixo x. Determine (a) a velocidade e a aceleração angulares do disco e (b) a velocidade e a aceleração do ponto D da periferia do disco.
Passo 1
O enunciado descreve um disco de raio r cuja face está sempre perpendicular ao braço ABC. Esse braço gira em torno do eixo x com velocidade angular constante \omega_{1}, e simultaneamente o disco gira em torno de seu próprio eixo (normal à sua face) com velocidade constante \omega_{2}. Precisamos usar:
– Regra da soma de velocidades angulares para um corpo com dois giros superpostos.
– Derivada da velocidade angular para obter a aceleração angular.
– Fórmula \mathbf v=\boldsymbol\omega\times\mathbf r e \mathbf a=\boldsymbol\alpha\times\mathbf r+\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r) para o ponto D.
Passo 2
Definimos um sistema de eixos fixo (x,y,z). Seja \varphi=\omega_{1}t o ângulo que o braço girou em torno de x. A normal ao disco, unitária, é a imagem do eixo z por essa rotação em x; assim
\mathbf n(\varphi) =\bigl(0,\;\cos\varphi,\;\sin\varphi\bigr) \quad\text{ou, seguindo a convenção de giro positivo,} \quad \mathbf n(\varphi) =\bigl(0,\;-\sin\varphi,\;\cos\varphi\bigr).
(Qual das duas depende do sentido de \omega_{1}; vamos usar \mathbf n=(0,-\sin\varphi,\cos\varphi).)
A velocidade angular total do disco é a soma vetorial da rotação do braço e da rotação própria do disco:
Para achar a aceleração angular \boldsymbol\alpha, derivamos \boldsymbol\omega no sistema inercial. Como \omega_{1} e \omega_{2} são constantes, só a direção \mathbf n varia:
Agora vamos à cinemática do ponto D na periferia do disco. Denotamos:
– C é o centro do disco, a distância L (comprimento BC) do eixo x.
– \mathbf r_{C} = L\,(0,\cos\varphi,\sin\varphi) é o vetor de O (origem do eixo) a C.
– Num referencial vinculado ao disco tomamos no plano do disco dois eixos \mathbf e_{1},\mathbf e_{2} girando com ele, de modo que