15.191 Um disco de raio r gira com velocidade angular constante \omega_{2} em torno do braço A B C, que por sua vez gira com velocidade constante \omega_{1} em torno do eixo x. Determine (a) a velocidade e a aceleração angulares do disco e (b) a velocidade e a aceleração do ponto D da periferia do disco.

Passo 1

O enunciado descreve um disco de raio r cuja face está sempre perpendicular ao braço ABC. Esse braço gira em torno do eixo x com velocidade angular constante \omega_{1}, e simultaneamente o disco gira em torno de seu próprio eixo (normal à sua face) com velocidade constante \omega_{2}. Precisamos usar:
– Regra da soma de velocidades angulares para um corpo com dois giros superpostos.
– Derivada da velocidade angular para obter a aceleração angular.
– Fórmula \mathbf v=\boldsymbol\omega\times\mathbf r e \mathbf a=\boldsymbol\alpha\times\mathbf r+\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r) para o ponto D.

Passo 2

Definimos um sistema de eixos fixo (x,y,z). Seja \varphi=\omega_{1}t o ângulo que o braço girou em torno de x. A normal ao disco, unitária, é a imagem do eixo z por essa rotação em x; assim
\mathbf n(\varphi) =\bigl(0,\;\cos\varphi,\;\sin\varphi\bigr) \quad\text{ou, seguindo a convenção de giro positivo,} \quad \mathbf n(\varphi) =\bigl(0,\;-\sin\varphi,\;\cos\varphi\bigr).çã
(Qual das duas depende do sentido de \omega_{1}; vamos usar \mathbf n=(0,-\sin\varphi,\cos\varphi).)
A velocidade angular total do disco é a soma vetorial da rotação do braço e da rotação própria do disco:
\boxed{ \boldsymbol\omega =\omega_{1}\,\mathbf i_{x} +\omega_{2}\,\mathbf n(\varphi). }

Passo 3

Para achar a aceleração angular \boldsymbol\alpha, derivamos \boldsymbol\omega no sistema inercial. Como \omega_{1} e \omega_{2} são constantes, só a direção \mathbf n varia:
\boldsymbol\alpha =\frac{d\boldsymbol\omega}{dt} =\omega_{2}\,\frac{d\mathbf n}{dt} \;=\;\omega_{2}\bigl(\boldsymbol\omega_{\text{braço}}\times\mathbf n\bigr) =\omega_{2}\bigl(\omega_{1}\mathbf i_{x}\times\mathbf n\bigr).ç
Calculando o produto vetorial, por exemplo
\mathbf i_{x}\times\mathbf n =\mathbf i_{x}\times(0,-\sin\varphi,\cos\varphi) =(-\cos\varphi)\,\mathbf j \;+\;(-\sin\varphi)\,\mathbf k,
vemos que
\boxed{ \boldsymbol\alpha =\omega_{1}\,\omega_{2}\bigl(-\cos\varphi\,\mathbf j-\sin\varphi\,\mathbf k\bigr). }

Passo 4

Agora vamos à cinemática do ponto D na periferia do disco. Denotamos:
C é o centro do disco, a distância L (comprimento BC) do eixo x.
\mathbf r_{C} = L\,(0,\cos\varphi,\sin\varphi) é o vetor de O (origem do eixo) a C.
– Num referencial vinculado ao disco tomamos no plano do disco dois eixos \mathbf e_{1},\mathbf e_{2} girando com ele, de modo que
\mathbf r_{D/C} =r\bigl(\cos\theta\,\mathbf e_{1}+\sin\theta\,\mathbf e_{2}\bigr), \quad \theta=\omega_{2}t.
Então a velocidade do ponto D é
\mathbf v_{D} =\mathbf v_{C} +\underbrace{\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{D/C}}_{\text{devido ao giro total do disco}}.
Mas
\mathbf v_{C} =\omega_{1}\,\mathbf i_{x}\times\mathbf r_{C} =\omega_{1}L\,(0,-\sin\varphi,\cos\varphi).
Portanto
\boxed{ \mathbf v_{D} =\omega_{1}L\,(0,-\sin\varphi,\cos\varphi) +(\omega_{1}\mathbf i_{x}+\omega_{2}\mathbf n)\times \bigl[r(\cos\theta\,\mathbf e_{1}+\sin\theta\,\mathbf e_{2})\bigr]. }

Passo 5

A aceleração de D vem de
\mathbf a_{D} =\mathbf a_{C} +\boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{D/C} +\boldsymbol\omega\times\bigl(\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{D/C}\bigr).
Com
\mathbf a_{C} =\omega_{1}\mathbf i_{x}\times(\omega_{1}\mathbf i_{x}\times\mathbf r_{C}) =-\omega_{1}^{2}L\,(0,\cos\varphi,\sin\varphi),
já que \omega_{1} é constante. Logo
\boxed{ \begin{aligned} \mathbf a_{D} &=-\omega_{1}^{2}L\,(0,\cos\varphi,\sin\varphi) +\omega_{1}\omega_{2}\bigl(-\cos\varphi\,\mathbf j-\sin\varphi\,\mathbf k\bigr) \times\bigl[r(\cos\theta\,\mathbf e_{1}+\sin\theta\,\mathbf e_{2})\bigr]\\\ &\quad+(\omega_{1}\mathbf i_{x}+\omega_{2}\mathbf n)\times \Bigl[(\omega_{1}\mathbf i_{x}+\omega_{2}\mathbf n) \times\bigl(r(\cos\theta\,\mathbf e_{1}+\sin\theta\,\mathbf e_{2})\bigr)\Bigr]. \end{aligned} }

Resposta

(a)
\boldsymbol\omega =\omega_{1}\,\mathbf i_{x}+\omega_{2}\,\mathbf n(\varphi), \quad \boldsymbol\alpha =\omega_{1}\omega_{2}\,\mathbf i_{x}\times\mathbf n(\varphi).
(b)
\mathbf v_{D} =\omega_{1}L\,(0,-\sin\varphi,\cos\varphi) +(\omega_{1}\mathbf i_{x}+\omega_{2}\mathbf n)\times \bigl[r(\cos\theta\,\mathbf e_{1}+\sin\theta\,\mathbf e_{2})\bigr],
\mathbf a_{D} =-\omega_{1}^{2}L\,(0,\cos\varphi,\sin\varphi) +\boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{D/C} +\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{D/C}),
com \varphi=\omega_{1}t, \theta=\omega_{2}t e \mathbf r_{D/C}=r(\cos\theta\,\mathbf e_{1}+\sin\theta\,\mathbf e_{2}).

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