15.22(a) A que temperatura a população do primeiro estado excitado de vibração do HCl seria igual a 1/e vezes a população do estado fundamental?

Passo 1

O enunciado pergunta claramente: “A que temperatura a população do primeiro estado excitado de vibração do HCl seria igual a 1/e vezes a população do estado fundamental?”
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • Queremos a temperatura T tal que a razão de populações N_1/N_0 = 1/e, onde N_v é a população do nível vibracional com número quântico v.
  • Trata-se do diatômico HCl; será preciso usar a energia de transição vibracional entre v=0 e v=1.
    Não há outras informações numéricas no enunciado, portanto vou usar o valor espectroscópico típico da constante de número de onda fundamental do HCl: \tilde{\nu}=2886\\ \text{cm}^{-1} (valor de tabela experimental para HCl).

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (aula rápida e amigável).
  • Em equilíbrio térmico, as populações dos níveis seguem a distribuição de Boltzmann: para dois níveis com energias E_0 e E_1,
\frac{N_1}{N_0}=\exp\!\left(-\frac{E_1-E_0}{k_B T}\right),
onde k_B é a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta.
  • Para o oscilador harmônico (boa aproximação para a vibração do HCl), as energias vibracionais são
E_v=\left(v+\tfrac{1}{2}\right)h\nu,
onde h é a constante de Planck e \nu a frequência vibracional. Assim, a diferença entre v=1 e v=0 é
\Delta E=E_1-E_0=h\nu.
Portanto
\frac{N_1}{N_0}=\exp\!\left(-\frac{h\nu}{k_B T}\right).

Passo 3

Aplicando a condição pedida.
Queremos \dfrac{N_1}{N_0}=\dfrac{1}{e}. Igualando às fórmulas:
\exp\!\left(-\frac{h\nu}{k_B T}\right)=\frac{1}{e}.
Tomando logaritmo (ou reconhecendo que \exp(-1)=1/e) obtemos
\frac{h\nu}{k_B T}=1 \quad\Rightarrow\quad T=\frac{h\nu}{k_B}.
Essa é uma expressão simples: a temperatura pedida é a temperatura equivalente à energia do fóton vibracional.

Passo 4

Converter frequência em número de onda (forma prática).
Freqüência e número de onda estão relacionados por \nu=c\tilde{\nu}, onde c é a velocidade da luz e \tilde{\nu} é o número de onda (em \text{cm}^{-1} se usar a constante abaixo). Substituindo em T:
T=\frac{h c \tilde{\nu}}{k_B}.
É prático usar o valor combinado \dfrac{h c}{k_B}, que em unidades compatíveis vale aproximadamente 1,438776877\\ \text{cm}\cdot\text{K}. Assim, com \tilde{\nu} em \text{cm}^{-1},
T=\left(\frac{h c}{k_B}\right)\tilde{\nu}.

Passo 5

Colocar números (peguei \tilde{\nu}=2886\\ \text{cm}^{-1} de tabelas espectroscópicas para HCl). Usando \dfrac{h c}{k_B}=1,438776877\\ \text{cm}\cdot\text{K}:
T=1,438776877\cdot 2886\\ \text{K}.
Agora calculo passo a passo:
1,438776877\times 2886 \approx 4152,31\\ \text{K}.

Passo 6

Interpretação e dica de prova.
  • Resultado: T\approx 4{,}15\times10^{3}\\ \text{K}. Ou seja, somente a temperaturas muito altas a população do primeiro estado vibracional de HCl cai a 1/e da do estado fundamental — vibrações exigem muita energia térmica.
  • Dica prática: para diatômicos é comum usar a aproximação rápida T\approx 1{,}44\cdot\tilde{\nu} (com \tilde{\nu} em \text{cm}^{-1}), porque h c/k_B\approx1{,}4388. Assim memoriza-se e faz-se cálculo mental rápido na prova.

Resposta

T\approx 4{,}15\times10^{3}\\ \text{K}

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