15.22(a) A que temperatura a população do primeiro estado excitado de vibração do HCl seria igual a 1/e vezes a população do estado fundamental?
Passo 1
O enunciado pergunta claramente: “A que temperatura a população do primeiro estado excitado de vibração do HCl seria igual a
vezes a população do estado fundamental?”
Informações dadas (implícitas no enunciado):
Informações dadas (implícitas no enunciado):
- Queremos a temperatura
tal que a razão de populações , onde é a população do nível vibracional com número quântico . - Trata-se do diatômico HCl; será preciso usar a energia de transição vibracional entre
e .
Não há outras informações numéricas no enunciado, portanto vou usar o valor espectroscópico típico da constante de número de onda fundamental do HCl:(valor de tabela experimental para HCl).
Passo 2
Conceito físico e fórmula que vamos usar (aula rápida e amigável).
- Em equilíbrio térmico, as populações dos níveis seguem a distribuição de Boltzmann: para dois níveis com energias
e ,
onde
é a constante de Boltzmann e
a temperatura absoluta.
- Para o oscilador harmônico (boa aproximação para a vibração do HCl), as energias vibracionais são
onde
é a constante de Planck e
a frequência vibracional. Assim, a diferença entre
e
é
Portanto
Passo 3
Aplicando a condição pedida.
Queremos . Igualando às fórmulas:
Queremos
Tomando logaritmo (ou reconhecendo que
) obtemos
Essa é uma expressão simples: a temperatura pedida é a temperatura equivalente à energia do fóton vibracional.
Passo 4
Converter frequência em número de onda (forma prática).
Freqüência e número de onda estão relacionados por , onde
é a velocidade da luz e
é o número de onda (em
se usar a constante abaixo). Substituindo em
:
Freqüência e número de onda estão relacionados por
É prático usar o valor combinado
, que em unidades compatíveis vale aproximadamente
. Assim, com
em
,
Passo 5
Colocar números (peguei
de tabelas espectroscópicas para HCl). Usando
:
Agora calculo passo a passo:
Passo 6
Interpretação e dica de prova.
- Resultado:
. Ou seja, somente a temperaturas muito altas a população do primeiro estado vibracional de HCl cai a da do estado fundamental — vibrações exigem muita energia térmica. - Dica prática: para diatômicos é comum usar a aproximação rápida
(com em ), porque . Assim memoriza-se e faz-se cálculo mental rápido na prova.