15.23(a) Calcule a entropia molar padrão do neônio gasoso a (a) 200 K , (b) 298,15 \mathrm{~K}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pede-se a entropia molar padrão do neônio gasoso a duas temperaturas: (a) \,200\\ \mathrm{K}\, e (b) \,298{,}15\\ \mathrm{K}\,.
  • “Entropia molar padrão” significa a entropia por mol no estado padrão de pressão. Vou assumir a pressão padrão \,P^\circ = 1{,}00\\ \mathrm{bar} = 1{,}00\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}\,.
  • Trata-se de um gás monatomicamente simples (neônio), que pode ser tratado como gás ideal e cuja entropia pode ser calculada por meio da equação de Sackur–Tetrode (estatística clássica).

Passo 2

Apresento a fórmula que vou usar (Sackur–Tetrode para um mol de gás monoatômico ideal em função de T e P):
S_m = R\left[\ln\!\left(\frac{(2\pi m k_B T)^{3/2}\,k_B T}{P h^{3}}\right)+\frac{5}{2}\right].
Explicando cada símbolo (para você não se perder):
  • S_m = entropia molar (unidade: \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}).
  • R = constante dos gases = \,8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\,.
  • m = massa de uma única partícula (átomo) do neônio (unidade: \mathrm{kg}).
  • k_B = constante de Boltzmann = \,1{,}380649\times 10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}\,.
  • T = temperatura absoluta (unidade: \mathrm{K}).
  • P = pressão (unidade: \mathrm{Pa}).
  • h = constante de Planck = \,6{,}62607015\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}\,.
Comentário didático curto: a fórmula vem da estatística para o gás ideal monoatômico (conta os estados quânticos de um gás ideal e fornece a entropia “ab initio”). Ela é válida quando o gás é ideal e as correções quânticas de indistinguibilidade já estão consideradas (é apropriada para neônio nas temperaturas dadas).

Passo 3

Valores numéricos das constantes que vou usar (totalmente explícito):
R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}, \quad k_B = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}},
h = 6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}, \quad P^\circ = 1{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Agora preciso da massa do átomo de neônio. A massa atômica relativa do neônio é aproximadamente \,20{,}1797\\ \mathrm{u}\,, e
1\\ \mathrm{u} = 1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
Portanto a massa de um átomo de neônio é
m = 20{,}1797\times 1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg} = 3{,}35093719\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
(Deixei a massa com boa precisão para não acumular erro.)

Passo 4

Estratégia de cálculo prática: é mais estável numericamente calcular o argumento do log como soma de parcelas de logaritmos. Tomando logaritmo natural do argumento interno da equação de Sackur–Tetrode:
\ln A \equiv \ln\!\left(\frac{(2\pi m k_B T)^{3/2}\,k_B T}{P h^{3}}\right) = \frac{3}{2}\ln(2\pi)+\frac{3}{2}\ln m + \frac{5}{2}\ln k_B + \frac{5}{2}\ln T - \ln P - 3\ln h.
Vou calcular cada termo numericamente (com arredondamento razoável) e depois montar S_m = R\bigl(\ln A + \tfrac{5}{2}\bigr).

Passo 5

Cálculo dos termos constantes (números apresentados com muitas casas para acompanhar o raciocínio):
\ln(2\pi)=1{,}837877066,
\ln m = \ln\!\bigl(3{,}35093719\times10^{-26}\bigr) = -58{,}657751418,
\ln k_B = \ln\!\bigl(1{,}380649\times10^{-23}\bigr) = -52{,}636688880,
\ln h = \ln\!\bigl(6{,}62607015\times10^{-34}\bigr) = -76{,}397441093,
\ln P^\circ = \ln\!\bigl(1{,}00\times10^{5}\bigr) = 11{,}512925465.
Agora os coeficientes multiplicativos:
\frac{3}{2}\ln(2\pi)=2{,}756815599, \quad \frac{3}{2}\ln m = -87{,}986627127, \quad \frac{5}{2}\ln k_B = -131{,}591722200, \quad -3\ln h = 229{,}192323279.

Passo 6

Cálculo para \,T=200\\ \mathrm{K}.
Primeiro o termo que depende de T:
\frac{5}{2}\ln T = \frac{5}{2}\ln(200) = \frac{5}{2}\times 5{,}298317366 = 13{,}245793415.
Agora somo todos os termos para obter \ln A:
\ln A = 2{,}756815599 -87{,}986627127 -131{,}591722200 +13{,}245793415 -11{,}512925465 +229{,}192323279.
Fazendo a soma:
\ln A \approx 14{,}103656901.
Então
S_m(200\\ \mathrm{K}) = R\left(\ln A + \frac{5}{2}\right) = 8{,}314462618\times\bigl(14{,}103656901 + 2{,}5\bigr).
Calcule:
\ln A + \tfrac{5}{2} = 16{,}603656901,
S_m(200\\ \mathrm{K}) \approx 8{,}314462618\times 16{,}603656901 \approx 138{,}05\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 7

Cálculo para \,T=298{,}15\\ \mathrm{K}.
Calculo o termo que depende de T:
\frac{5}{2}\ln T = \frac{5}{2}\ln(298{,}15) = \frac{5}{2}\times 5{,}697774 \approx 14{,}2444349.
Podemos começar a partir do \ln A anterior e ajustar pelo incremento em \frac{5}{2}\ln T:
\Delta = \frac{5}{2}\bigl(\ln(298{,}15)-\ln(200)\bigr) \approx 2{,}5\times 0{,}399456634 \approx 0{,}998641585.
Assim
\ln A (298{,}15\\ \mathrm{K}) \approx 14{,}103656901 + 0{,}998641585 = 15{,}102298486.
Então
S_m(298{,}15\\ \mathrm{K}) = R\left(\ln A + \frac{5}{2}\right) = 8{,}314462618\times\bigl(15{,}102298486 + 2{,}5\bigr).
\ln A + \tfrac{5}{2} = 17{,}602298486,
S_m(298{,}15\\ \mathrm{K}) \approx 8{,}314462618\times 17{,}602298486 \approx 146{,}35\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 8

Interpretação e checagem rápida (motivacional): os valores obtidos são coerentes com tabelas experimentais (por exemplo, o valor tabulado de S^\circ_m(\mathrm{Ne},298{,}15\\ \mathrm{K}) é cerca de 146{,}3\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}). Isso dá confiança de que o procedimento com a equação de Sackur–Tetrode e as constantes usadas está correto.

Resposta

(a) S_m(200\\ \mathrm{K}) = 138{,}05\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}
(b) S_m(298{,}15\\ \mathrm{K}) = 146{,}35\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}

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