5.23(b) Calcule a entropia molar padrão do xenônio gasoso a (a) 100 K , (b)
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular a entropia molar padrão do xenônio gasoso nos dois casos:
- (a)
- (b)
- (a)
Informações relevantes fornecidas (e escolhas que faço porque não estavam explicitadas):
- O gás é xenônio, que é um átomo monoatômico. Vou usar sua massa molar (retirada da tabela periódica):
. - Vou calcular a entropia molar padrão à pressão padrão
. Adoto (1 bar), valor comum em problemas de termodinâmica. - Constantes que serão usadas (valores adotados):
- Constante de Boltzmann:
. - Constante de Planck:
. - Constante dos gases ideais:
. - Número de Avogadro:
.
- Constante de Boltzmann:
Passo 2
Qual método vou usar e por quê (breve justificativa):
- Xenônio é um gás nobre monoatômico; sua entropia translacional pode ser bem descrita pela fórmula de Sackur–Tetrode para um gás ideal monoatômico. Essa é a maneira direta e padrão de calcular a entropia absoluta (ou seja, entropia molar) de um átomo monoatômico ideal em função de
e . - Optei por este método porque é o mais simples e apropriado para monoátomos: não há modos rotacionais/vibracionais a considerar, só a contribuição translacional clássica.
Passo 3
Apresentando a fórmula que vamos usar e explicando cada termo:
- A equação de Sackur–Tetrode para a entropia molar
de um gás monoatômico ideal, na pressão e temperatura , pode ser escrita na forma prática:
- O que cada símbolo significa:
-
: entropia molar (por mol) em . -
: constante dos gases ideais ( ). -
: massa de uma única partícula (uma átomo de xenônio) em kg. Relaciona-se com a massa molar por . -
: constante de Boltzmann ( ). -
: temperatura em K. -
: pressão (aqui ). -
: constante de Planck ( ).
-
- Observação intuitiva rápida: a parte logarítmica contém a “densidade de estados” translacional; o termo
vem da combinação da energia interna translacional e das integrais de momento.
Passo 4
Preparar os valores numéricos: calcular
(massa de um átomo de xenônio)
Calculemos:
(Arredondei guardando casas significativas suficientes para os passos seguintes.)
Passo 5
Estratégia de cálculo e forma numérica conveniente:
- Para evitar trabalhar com potências enormes diretamente, uso o logaritmo natural da expressão dentro do ln da fórmula. Defino
- Vou calcular
passo a passo para cada temperatura, somando termos do tipo , , , , , .
Passo 6
Cálculo detalhado para
- Primeiro calcule os logaritmos parciais (valores numéricos aproximados usados):
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
-
- Agora monte
usando
- Calcule passo a passo:
-
-
-
- Soma parcial:
- Subtrair
: - Adicionar
(note que ):
-
- Portanto
- Finalmente
- Calcule:
Passo 7
Cálculo detalhado para
- Recalcular os termos que dependem de
: -
- Recalcule
: -
-
-
- Soma parcial:
- Subtrair
: - Adicionar
: - Portanto
-
- Finalmente
- Calcule:
Passo 8
Breve interpretação e checagem:
- O valor obtido em
( ) está muito próximo de valores tabulados experimentais para do xenônio à (tipicamente ). A pequena diferença decorre de arredondamentos e das aproximações inerentes ao modelo de gás ideal e ao uso numérico das constantes. - Em prova: memorize a forma da equação de Sackur–Tetrode e saiba identificar quando um gás é monoatômico (sem rotações/vibrações) — aí essa fórmula é a ferramenta certa.