5.23(b) Calcule a entropia molar padrão do xenônio gasoso a (a) 100 K , (b) 298,15 \mathrm{~K}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a entropia molar padrão do xenônio gasoso nos dois casos:
    • (a) T=100\\ \mathrm{K}
    • (b) T=298{,}15\\ \mathrm{K}
Informações relevantes fornecidas (e escolhas que faço porque não estavam explicitadas):
  • O gás é xenônio, que é um átomo monoatômico. Vou usar sua massa molar (retirada da tabela periódica): M=131{,}293\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}} = 0,131293\\ \mathrm{kg\\ mol^{-1}}.
  • Vou calcular a entropia molar padrão à pressão padrão p^\circ. Adoto p^\circ=1{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (1 bar), valor comum em problemas de termodinâmica.
  • Constantes que serão usadas (valores adotados):
    • Constante de Boltzmann: k_{B}=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.
    • Constante de Planck: h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\\ s}.
    • Constante dos gases ideais: R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
    • Número de Avogadro: N_{A}=6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.

Passo 2

Qual método vou usar e por quê (breve justificativa):
  • Xenônio é um gás nobre monoatômico; sua entropia translacional pode ser bem descrita pela fórmula de Sackur–Tetrode para um gás ideal monoatômico. Essa é a maneira direta e padrão de calcular a entropia absoluta (ou seja, entropia molar) de um átomo monoatômico ideal em função de T e p.
  • Optei por este método porque é o mais simples e apropriado para monoátomos: não há modos rotacionais/vibracionais a considerar, só a contribuição translacional clássica.

Passo 3

Apresentando a fórmula que vamos usar e explicando cada termo:
  • A equação de Sackur–Tetrode para a entropia molar S_{m} de um gás monoatômico ideal, na pressão p e temperatura T, pode ser escrita na forma prática:
S_{m}(T,p)=R\left[\frac{5}{2}+\ln\!\left(\frac{(2\pi m k_{B} T)^{3/2}\,k_{B}T}{p\,h^{3}}\right)\right].
  • O que cada símbolo significa:
    • S_{m}(T,p): entropia molar (por mol) em \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
    • R: constante dos gases ideais ( \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}).
    • m: massa de uma única partícula (uma átomo de xenônio) em kg. Relaciona-se com a massa molar M por m=M/N_{A}.
    • k_{B}: constante de Boltzmann ( \mathrm{J\\ K^{-1}}).
    • T: temperatura em K.
    • p: pressão (aqui p^\circ=1{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}).
    • h: constante de Planck ( \mathrm{J\\ s}).
  • Observação intuitiva rápida: a parte logarítmica contém a “densidade de estados” translacional; o termo 5/2 vem da combinação da energia interna translacional (3/2)RT e das integrais de momento.

Passo 4

Preparar os valores numéricos: calcular m (massa de um átomo de xenônio)
m=\frac{M}{N_{A}}=\frac{0{,}131293\\ \mathrm{kg\\ mol^{-1}}}{6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}}.
Calculemos:
m\approx 2{,}179\times10^{-25}\\ \mathrm{kg}.
(Arredondei guardando casas significativas suficientes para os passos seguintes.)

Passo 5

Estratégia de cálculo e forma numérica conveniente:
  • Para evitar trabalhar com potências enormes diretamente, uso o logaritmo natural da expressão dentro do ln da fórmula. Defino
\Lambda(T)=\frac{(2\pi m k_{B} T)^{3/2}\,k_{B}T}{p\,h^{3}}, \qquad S_{m}=R\left(\frac{5}{2}+\ln\Lambda(T)\right).
  • Vou calcular \ln\Lambda(T) passo a passo para cada temperatura, somando termos do tipo \ln(2\pi), \ln m, \ln k_{B}, \ln T, \ln p, \ln h.

Passo 6

Cálculo detalhado para T=100\\ \mathrm{K}
  • Primeiro calcule os logaritmos parciais (valores numéricos aproximados usados):
    • \ln(2\pi)\approx 1{,}837877.
    • \ln m \approx \ln(2{,}179\times10^{-25}) \approx -56{,}7871.
    • \ln k_{B} \approx \ln(1{,}380649\times10^{-23}) \approx -52{,}6367.
    • \ln T = \ln(100)\approx 4{,}605170.
    • \ln p = \ln(1{,}00\times10^{5})\approx 11{,}512925.
    • \ln h \approx \ln(6{,}62607015\times10^{-34}) \approx -76{,}3960.
  • Agora monte \ln\Lambda(T) usando
\ln\Lambda(T)=\tfrac{3}{2}\ln(2\pi m k_{B}T)+\ln(k_{B}T)-\ln p-3\ln h.
  • Calcule passo a passo:
    • \ln(2\pi m k_{B}T)=\ln(2\pi)+\ln m+\ln k_{B}+\ln T \approx -102{,}980743.
    • \tfrac{3}{2}\ln(2\pi m k_{B}T)\approx -154{,}471115.
    • \ln(k_{B}T)=\ln k_{B}+\ln T\approx -48{,}031519.
    • Soma parcial: -154{,}471115 + (-48{,}031519) = -202{,}502634.
    • Subtrair \ln p: -202{,}502634 - 11{,}512925 = -214{,}015559.
    • Adicionar -3\ln h (note que -3\ln h = -3\times(-76{,}3960)=+229{,}188048):
-214{,}015559 + 229{,}188048 = 15{,}172489.
  • Portanto \ln\Lambda(100\\ \mathrm{K})\approx 15{,}172489.
  • Finalmente
S_{m}(100\\ \mathrm{K})=R\left(\frac{5}{2}+\ln\Lambda\right) =8{,}314462618\left(2{,}5+15{,}172489\right).
  • Calcule:
S_{m}(100\\ \mathrm{K})\approx 8{,}314462618\times 17{,}672489 \approx 146{,}94\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.

Passo 7

Cálculo detalhado para T=298{,}15\\ \mathrm{K}
  • Recalcular os termos que dependem de T:
    • \ln T = \ln(298{,}15)\approx 5{,}700389.
  • Recalcule \ln(2\pi m k_{B}T):
    • \ln(2\pi m k_{B}T)=\ln(2\pi)+\ln m+\ln k_{B}+\ln T\approx -101{,}885524.
    • \tfrac{3}{2}\ln(2\pi m k_{B}T)\approx -152{,}828286.
    • \ln(k_{B}T)=\ln k_{B}+\ln T\approx -46{,}936300.
    • Soma parcial: -152{,}828286 + (-46{,}936300) = -199{,}764586.
    • Subtrair \ln p: -199{,}764586 - 11{,}512925 = -211{,}277511.
    • Adicionar -3\ln h: -211{,}277511 + 229{,}188048 = 17{,}910537.
    • Portanto \ln\Lambda(298{,}15\\ \mathrm{K})\approx 17{,}910537.
  • Finalmente
S_{m}(298{,}15\\ \mathrm{K})=R\left(\frac{5}{2}+\ln\Lambda\right) =8{,}314462618\left(2{,}5+17{,}910537\right).
  • Calcule:
S_{m}(298{,}15\\ \mathrm{K})\approx 8{,}314462618\times 20{,}410537 \approx 169{,}70\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.

Passo 8

Breve interpretação e checagem:
  • O valor obtido em 298{,}15\\ \mathrm{K} ( \approx 169{,}7\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}) está muito próximo de valores tabulados experimentais para S^\circ do xenônio à 298{,}15\\ \mathrm{K} (tipicamente \sim169\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}). A pequena diferença decorre de arredondamentos e das aproximações inerentes ao modelo de gás ideal e ao uso numérico das constantes.
  • Em prova: memorize a forma da equação de Sackur–Tetrode e saiba identificar quando um gás é monoatômico (sem rotações/vibrações) — aí essa fórmula é a ferramenta certa.

Resposta

S^\circ(100\\ \mathrm{K}) = 146{,}94\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}
S^\circ(298{,}15\\ \mathrm{K}) = 169{,}70\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}

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