15.24(a) Calcule a contribuição vibracional à entropia do
a 500 K , sabendo que o número de onda vibracional é
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei os dados do enunciado):
- Temperatura:
. - Número de onda vibracional do
: . - Pede a contribuição vibracional para a entropia (assume-se entropia molar, unidade
).
Resumo do pedido: calcular a entropia molar vibracional
de
a
sabendo
.
Passo 2
Modelo físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- A vibração de uma molécula diatômica é bem aproximada por um oscilador harmônico quântico. Os níveis de energia vibracional são
, com . - A função de partição vibracional de uma molécula (um oscilador) é
onde
,
é a constante de Planck,
a constante de Boltzmann e
a frequência vibracional.
- A entropia (por partícula) no ensemble canônico pode ser obtida por
com
a energia média vibracional da partícula. Para passar à entropia molar, multiplica-se por
, o que substitui
por
(
). Isso leva a uma fórmula prática abaixo.
Passo 3
Derivação curta da fórmula prática (mostrando de onde vem, de forma simples):
- A energia média vibracional por oscilador é
- Usando
e a expressão de e multiplicando por , a entropia molar vibracional fica
onde foi definida a temperatura vibracional
Essa é a expressão padrão e muito prática: basta calcular
e inserir na expressão entre colchetes.
Passo 4
Converter o número de onda
em temperatura vibracional
:
- A frequência
está relacionada ao número de onda por . Então
- É útil usar o valor combinado
(constante conhecida). - Assim
- Calculando:
Passo 5
Calcular o argumento
que entra na fórmula:
Passo 6
Avaliar numericamente a expressão entre colchetes:
- Calcular
e :
- Calcular os termos:
- Portanto o conteúdo dos colchetes é
Passo 7
Multiplicar por
para obter a entropia molar vibracional:
- Usando
,
Comentário rápido: é uma contribuição relativamente pequena (vibração não totalmente excitada a 500 K), mas não desprezível.