15.9(a) A molécula de NOF é um rotor assimétrico com as seguintes constantes rotacionais:
e
. Calcule a função de partição rotacional dessa molécula a (a)
, (b)
.
Passo 1
O enunciado dá uma molécula de NOF (rotor assimétrico) com as constantes rotacionais (em unidades de
):
Pede-se calcular a função de partição rotacional da molécula:
(a) a (ou seja,
);
(b) a (ou seja,
).
(a) a
(b) a
Passo 2
Qual fórmula usar? Para um rotor assimétrico, na aproximação clássica (válida quando a energia térmica é grande comparada às separações rotacionais), a função de partição rotacional é dada por
Explicando cada termo:
-
é a função de partição rotacional (adimensional). -
é o número de simetria rotacional (sem unidade) da molécula. -
é a constante de Boltzmann ( ). -
é a constante de Planck ( ). -
é a velocidade da luz ( ), por isso usamos constantes em . -
são as constantes rotacionais em (fornecidas).
Observação importante: as constantes rotacionais empermitem usar diretamente expresso em , o que facilita os cálculos.
Passo 3
Decidir
(número de simetria). NOF tem átomos diferentes (N, O, F) e não possui eixo de rotação que torne a molécula indistinguível ao girar por um ângulo menor que
. Logo tomo
(Se a molécula tivesse átomos idênticos em posições simétricas,
seria maior; aqui não é o caso.)
Passo 4
Preparar constantes de conversão úteis. A combinação
em unidades
vale
Portanto
Assim, para uma temperatura
temos diretamente (em
):
Passo 5
Calcular
para as duas temperaturas:
- Para
:
(passos numéricos:
e somando a parte
obtém-se o valor acima).
- Para
:
Passo 6
Calcular
. Primeiro o produto:
Agora a raiz quadrada:
(Deixei alguns passos de multiplicação explícitos:
, e
.)
Passo 7
Calcular
para
. Primeiro obter a raiz quadrada de
:
então
Passo 8
Avaliar
em
. Usando a fórmula,
Substituindo valores numéricos (
,
):
Arredondando razoavelmente:
.
Passo 9
Repetir para
.
Primeiro
Primeiro
logo
Agora
Arredondando:
.
Passo 10
Comentário de verificação (didático): a aproximação clássica usada é válida quando
é grande em relação às energias rotacionais características. As temperaturas rotacionais típicas são
. Por exemplo para
tem-se
, e para
são ainda menores; como estamos em centenas de kelvin, a aproximação clássica é perfeitamente razoável. Portanto os valores acima são confiáveis para os propósitos de uma prova/estimativa.