15. PROCESSO DE GRAM-SCHMIDT
- Aplique Gram-Schmidt ao conjunto:
- Ortonormalize:
- Aplique Gram-Schmidt aos vetores:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os vetores fornecidos.
-
Parte (a): “Aplique Gram–Schmidt ao conjunto” com os vetores
.
O que se pede: obter um conjunto ortogonal (base ortogonal) a partir desses vetores. -
Parte (b): “Ortonormalize” os vetores
.
O que se pede: produzir um conjunto ortonormal (vetores mutuamente ortogonais e com norma) a partir desses vetores. -
Parte (c): “Aplique Gram–Schmidt aos vetores”
.
O que se pede: obter um conjunto ortogonal (ou base ortogonal) a partir desses três vetores.
Não há outras condições (por ex. ordem diferente ou normalização obrigatória além do pedido explícito em (b)). Vou usar as informações acima sem perguntar nada mais.
Passo 2
Explicação didática do método de Gram–Schmidt (fórmulas e conceitos usados).
-
Objetivo do processo: transformar um conjunto linearmente independente de vetores
em um conjunto ortogonal com a mesma posição linear (ou seja, que gera o mesmo subespaço), usando subtrações de projeções. -
Produto interno e norma (usados aqui): para vetores em
usa-se o produto escalar usual e a norma associada -
Projeção de
sobre (com ): ) Intuição: pega a componente dena direção de e a subtrai quando quer tornar vetores ortogonais. -
Gram–Schmidt passo a passo (caso de até 3 vetores):
e assim por diante. Os
obtidos são ortogonais entre si. Se quiser ortonormalizar, define-se
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo aos três itens do enunciado.
Passo 3
Parte (a): aplicar Gram–Schmidt ao conjunto
.
-
Primeiro vetor:
-
Segundo vetor:
precisamos de. Calcule os produtos:
Assim
Logo
- Conclusão parcial: os vetores já saem ortogonais, porque
(já vimos que o produto foi zero). Assim um conjunto ortogonal obtido é .
Observação prática: quando
significa que
já era ortogonal a
e não precisa ser alterado.
Passo 4
Parte (b): ortonormalizar os vetores
.
Aplicando Gram–Schmidt e depois normalizando.
-
Primeiro passo (obter
e ): Norma de: Vetor unitário (primeiro vetor ortonormal): -
Segundo passo (obter
ortogonal a , depois normalizar):
Calcule o escalar para projeção:EntãoSubtraindo,Norma de: Vetor unitário:Uma forma mais limpa (multiplicando numerador/denominador) é(Verificação rápida:, então dividir por dá vetor unitário.) -
Conclusão: um conjunto ortonormal é
Passo 5
Parte (c): aplicar Gram–Schmidt aos vetores
.
Vou construir
ortogonais conforme a fórmula.
-
Primeiro vetor:
-
Segundo vetor:LogoSubtraindo:Observação: pode multiplicar
por para obter um vetor com inteiros que é paralelo a e também ortogonal a . Fazer essa escala não altera a ortogonalidade entre vetores. -
Terceiro vetor:
Primeiro projetesobre : então. Depois projetesobre . Primeiro calcule EAssimComputeAgora:Calcule passo a passo:Subtraindo: Simplificando frações:LogoNovamente pode-se escolher uma versão inteira e mais simples multiplicandopor : obter , que é paralelo a e conserva a ortogonalidade com e . -
Conclusão: uma base ortogonal (escalada para inteiros, mais prática para usar) é(Esses três vetores são mutuamente ortogonais — pode verificar os produtos escalares: todos nulos.)
Resposta
(a)
(b)
(c)