15. PROCESSO DE GRAM-SCHMIDT

  1. Aplique Gram-Schmidt ao conjunto:
(1,1),(1,-1)
  1. Ortonormalize:
(1,0,1),(1,1,0)
  1. Aplique Gram-Schmidt aos vetores:
(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os vetores fornecidos.
  • Parte (a): “Aplique Gram–Schmidt ao conjunto” com os vetores \,(1,1),\;(1,-1)\,.
    O que se pede: obter um conjunto ortogonal (base ortogonal) a partir desses vetores.
  • Parte (b): “Ortonormalize” os vetores \,(1,0,1),\;(1,1,0)\,.
    O que se pede: produzir um conjunto ortonormal (vetores mutuamente ortogonais e com norma 1) a partir desses vetores.
  • Parte (c): “Aplique Gram–Schmidt aos vetores” \,(1,1,1),\;(1,0,1),\;(0,1,1)\,.
    O que se pede: obter um conjunto ortogonal (ou base ortogonal) a partir desses três vetores.
Não há outras condições (por ex. ordem diferente ou normalização obrigatória além do pedido explícito em (b)). Vou usar as informações acima sem perguntar nada mais.

Passo 2

Explicação didática do método de Gram–Schmidt (fórmulas e conceitos usados).
  • Objetivo do processo: transformar um conjunto linearmente independente de vetores \{v_1,\dots,v_k\} em um conjunto ortogonal \{u_1,\dots,u_k\} com a mesma posição linear (ou seja, que gera o mesmo subespaço), usando subtrações de projeções.
  • Produto interno e norma (usados aqui): para vetores em \mathbb{R}^n usa-se o produto escalar usual
    \langle x,y\rangle = x\cdot y = \sum_{i=1}^n x_i y_i,
    e a norma associada
    \|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}.
  • Projeção de v sobre u (com u\neq 0): )
    \operatorname{proj}_{u} v = \frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
    Intuição: pega a componente de v na direção de u e a subtrai quando quer tornar vetores ortogonais.
  • Gram–Schmidt passo a passo (caso de até 3 vetores):
    u_1 = v_1,
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1} v_2,
u_3 = v_3 - \operatorname{proj}_{u_1} v_3 - \operatorname{proj}_{u_2} v_3,
e assim por diante. Os u_i obtidos são ortogonais entre si. Se quiser ortonormalizar, define-se
e_i = \frac{u_i}{\|u_i\|}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo aos três itens do enunciado.

Passo 3

Parte (a): aplicar Gram–Schmidt ao conjunto \,v_1=(1,1),\;v_2=(1,-1)\,.
  • Primeiro vetor:
    u_1 = v_1 = (1,1).
  • Segundo vetor:
    precisamos de \operatorname{proj}_{u_1} v_2. Calcule os produtos:
    \langle v_2,u_1\rangle = (1)(1) + (-1)(1) = 1-1 = 0,
\langle u_1,u_1\rangle = 1^2+1^2 = 2.
Assim
\operatorname{proj}_{u_1} v_2 = \frac{0}{2}\,u_1 = (0,0).
Logo
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1} v_2 = v_2 - (0,0) = (1,-1).
  • Conclusão parcial: os vetores já saem ortogonais, porque \langle u_1,u_2\rangle=0 (já vimos que o produto foi zero). Assim um conjunto ortogonal obtido é \{(1,1),(1,-1)\}.
Observação prática: quando \langle v_2,u_1\rangle=0 significa que v_2 já era ortogonal a u_1 e não precisa ser alterado.

Passo 4

Parte (b): ortonormalizar os vetores \,v_1=(1,0,1),\;v_2=(1,1,0)\,.
Aplicando Gram–Schmidt e depois normalizando.
  • Primeiro passo (obter u_1 e e_1):
    u_1 = v_1 = (1,0,1).
    Norma de u_1:
    \|u_1\| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}.
    Vetor unitário (primeiro vetor ortonormal):
    e_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1).
  • Segundo passo (obter u_2 ortogonal a u_1, depois normalizar):
    Calcule o escalar para projeção:
    \langle v_2,u_1\rangle = 1\cdot1 + 1\cdot0 + 0\cdot1 = 1, \qquad \langle u_1,u_1\rangle = 2.
    Então
    \operatorname{proj}_{u_1} v_2 = \frac{1}{2}\,u_1 = \frac{1}{2}(1,0,1).
    Subtraindo,
    u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1} v_2 = (1,1,0) - \left(\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}\right) = \left(\tfrac{1}{2},1,-\tfrac{1}{2}\right).
    Norma de u_2:
    \|u_2\| = \sqrt{\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 + 1^2 + \left(-\tfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{1}{4} + 1 + \tfrac{1}{4}} = \sqrt{\tfrac{3}{2}}.
    Vetor unitário:
    e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = \frac{1}{\sqrt{3/2}}\left(\tfrac{1}{2},1,-\tfrac{1}{2}\right) = \sqrt{\tfrac{2}{3}}\left(\tfrac{1}{2},1,-\tfrac{1}{2}\right).
    Uma forma mais limpa (multiplicando numerador/denominador) é
    e_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,-1).
    (Verificação rápida: \|(1,2,-1)\|^2 = 1+4+1=6, então dividir por \sqrt{6} dá vetor unitário.)
  • Conclusão: um conjunto ortonormal é
    \left\{\; \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1),\; \frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,-1)\;\right\}.

Passo 5

Parte (c): aplicar Gram–Schmidt aos vetores \,v_1=(1,1,1),\;v_2=(1,0,1),\;v_3=(0,1,1)\,.
Vou construir u_1,u_2,u_3 ortogonais conforme a fórmula.
  • Primeiro vetor:
    u_1 = v_1 = (1,1,1),\qquad \langle u_1,u_1\rangle = 1+1+1 = 3.
  • Segundo vetor:
    \langle v_2,u_1\rangle = 1\cdot1 + 0\cdot1 + 1\cdot1 = 2.
    Logo
    \operatorname{proj}_{u_1} v_2 = \frac{2}{3}\,u_1 = \left(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\right).
    Subtraindo:
    u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1} v_2 = (1,0,1) - \left(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\right) = \left(\tfrac{1}{3}, -\tfrac{2}{3}, \tfrac{1}{3}\right).
    Observação: pode multiplicar u_2 por 3 para obter um vetor com inteiros (1,-2,1) que é paralelo a u_2 e também ortogonal a u_1. Fazer essa escala não altera a ortogonalidade entre vetores.
  • Terceiro vetor:
    Primeiro projete v_3 sobre u_1:
    \langle v_3,u_1\rangle = 0\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot1 = 2,
    então \operatorname{proj}_{u_1} v_3 = \tfrac{2}{3}u_1 = \left(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\right).
    Depois projete v_3 sobre u_2. Primeiro calcule
    \langle v_3,u_2\rangle = (0,1,1)\cdot\left(\tfrac{1}{3}, -\tfrac{2}{3}, \tfrac{1}{3}\right) = 0\cdot\tfrac{1}{3} + 1\cdot\left(-\tfrac{2}{3}\right) + 1\cdot\tfrac{1}{3} = -\tfrac{1}{3}.
    E
    \langle u_2,u_2\rangle = \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 + \left(-\tfrac{2}{3}\right)^2 + \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 = \tfrac{1}{9} + \tfrac{4}{9} + \tfrac{1}{9} = \tfrac{6}{9} = \tfrac{2}{3}.
    Assim
    \operatorname{proj}_{u_2} v_3 = \frac{\langle v_3,u_2\rangle}{\langle u_2,u_2\rangle}\,u_2 = \frac{-\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}}\,u_2 = -\tfrac{1}{2}\,u_2.
    Compute -\tfrac{1}{2}u_2 = -\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{3}, -\tfrac{2}{3}, \tfrac{1}{3}\right) = \left(-\tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{6}\right).
    Agora:
    u_3 = v_3 - \operatorname{proj}_{u_1} v_3 - \operatorname{proj}_{u_2} v_3.
    Calcule passo a passo:
    v_3 - \operatorname{proj}_{u_1} v_3 = (0,1,1) - \left(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\right) = \left(-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right).
    Subtraindo \operatorname{proj}_{u_2} v_3 = \left(-\tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{6}\right):
    u_3 = \left(-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right) - \left(-\tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{6}\right) = \left(-\tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{6},\;0,\;\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{6}\right).
    Simplificando frações:
    -\tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{6} = -\tfrac{4}{6} + \tfrac{1}{6} = -\tfrac{3}{6} = -\tfrac{1}{2}, \qquad \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{2}{6} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}.
    Logo
    u_3 = \left(-\tfrac{1}{2}, 0, \tfrac{1}{2}\right).
    Novamente pode-se escolher uma versão inteira e mais simples multiplicando u_3 por 2: obter (-1,0,1), que é paralelo a u_3 e conserva a ortogonalidade com u_1 e u_2.
  • Conclusão: uma base ortogonal (escalada para inteiros, mais prática para usar) é
    (1,1,1),\qquad (1,-2,1),\qquad (-1,0,1).
    (Esses três vetores são mutuamente ortogonais — pode verificar os produtos escalares: todos nulos.)

Resposta

(a) (1,1),\;(1,-1)
(b) \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1),\;\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,-1)
(c) (1,1,1),\;(1,-2,1),\;(-1,0,1)