P5.15 Using the expression
, calculate the decrease in temperature that occurs if 2.25 moles of water at 310 K and 1650. bar is brought to a final pressure of 1.30 bar in a reversible adiabatic process. Assume that
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a diminuição de temperatura quando
mols de água inicialmente em
e
são levados reversivelmente (reversível) a
em um processo adiabático. Foi dada a expressão diferencial
e a hipótese
. As quantidades iniciais e finais de pressão são:
e a temperatura inicial é
O que se pede é a diminuição de temperatura
.
Passo 2
Interpretação física e uso da condição adiabática reversível: num processo reversível adiabático a entropia total não varia, ou seja
Substituindo na expressão fornecida:
Isolando
obtemos a relação diferencial que liga variações de
e
ao longo do processo reversible adiabático:
Esta é uma relação padrão em termodinâmica:
. Vou usá‑la para integrar entre
e
.
Passo 3
Simplificação usando quantidades molares e a hipótese
: escrevendo tudo por mol,
e
, onde
é o volume molar e
o calor molar a pressão constante. Assim,
ou seja, o número de mols
cancela e o resultado depende apenas de propriedades molares. A hipótese
(compressibilidade isoterma nula) implica que o volume não muda com a pressão; isso nos permite tratar
como independente de
durante a integração. Para integrar a equação diferencial é ainda conveniente supor que
,
e
podem ser tomados aproximadamente constantes no intervalo considerado (uma aproximação razoável para líquidos em pequenas variações de temperatura). Então:
é uma equação diferencial separável.
Passo 4
Separando e integrando: separar variáveis dá
Integrando de
a
(correspondendo de
a
):
A integral do lado esquerdo é
e a do lado direito é
. Logo:
Desse modo
Passo 5
Escolha e justificativa dos valores numéricos: para avaliar numericamente usamos propriedades molares da água à temperatura próxima de
(valores tabulados):
- volume molar da água líquida:
, - coeficiente de expansão volumétrica em
( ): , - calor molar a pressão constante da água líquida:
.
Obs.: essas são aproximações tabuladas razoáveis para água líquida perto de
; a hipótese
justifica não considerar variação de
com
na integração. Como mostrado antes, o resultado final não depende do número de mols (o
cancela), logo o valor
mol não entra no fator multiplicativo — apenas para confirmar que estamos tratando água líquida e não gás ideal.
Converter pressões para SI:
Então
Passo 6
Cálculo numérico passo a passo:
Calcular o fator :
Calcular o fator
Multiplicando pelo
:
Logo
e
Portanto
Passo 7
Resultado final pedido (diminuição de temperatura): a diminuição é
Interpretação: sob as aproximações feitas (valores tabulados de
a
e
), a queda de pressão muito grande provoca uma pequena diminuição de temperatura de cerca de
.
Resposta
A diminuição de temperatura é
(logo
).