P5.16 3.75 moles of an ideal gas with C_{V, m}=3 / 2 R undergoes the transformations described in the following list from an initial state described by T=298 \mathrm{~K} and P=4.50 bar. Calculate q, w, \Delta U, \Delta H, and \Delta S for each process.
a. The gas undergoes a reversible adiabatic expansion until the final pressure is one third its initial value.
b. The gas undergoes an adiabatic expansion against a constant external pressure of 1.50 bar until the final pressure is one third its initial value.
c. The gas undergoes an expansion against a constant external pressure of zero bar until the final pressure is equal to one third of its initial value.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
Dados fornecidos:
  • número de mols: n = 3{,}75.
  • capacidade térmica molar a volume constante: C_{V,m} = \tfrac{3}{2}R.
  • temperatura inicial: T_1 = 298\\ \text{K}.
  • pressão inicial: P_1 = 4{,}50\\ \text{bar}.
  • pressão final (em todos os itens): P_2 = \dfrac{P_1}{3} = 1{,}50\\ \text{bar}.
O enunciado pede, para cada processo (a), (b) e (c), os valores de:
  • q (calor trocado pelo sistema),
  • w (trabalho; vou usar a convenção explicada abaixo),
  • \Delta U (variação da energia interna),
  • \Delta H (variação da entalpia),
  • \Delta S (variação de entropia).
Observação: os valores de pressão fornecidos em bar serão convertidos para Pa (1 bar = 10^{5}\\ \text{Pa}) quando necessário para cálculos numéricos.

Passo 2

Convenção de sinais e fórmulas básicas que vou usar (não inventei nada — são as relações padrão):
  • Convenção de sinais: a primeira lei escrita como
\Delta U = q + w,
onde q é o calor absorvido pelo sistema e w é o trabalho feito \emph{sobre} o sistema. Assim, se o sistema se expande e faz trabalho para fora, w será negativo.
  • Trabalho contra uma pressão externa constante P_{\text{ext}}:
w = -P_{\text{ext}}\,\Delta V = -P_{\text{ext}}(V_2-V_1).
  • Para gás ideal (dependência interna e entalpia só com T):
\Delta U = n C_V \, (T_2-T_1), \qquad \Delta H = n C_P \, (T_2-T_1),
onde C_V e C_P são as capacidades térmicas molares (por mol). Relacionam-se por
C_P = C_V + R.
  • Constante adiabática:
\gamma = \frac{C_P}{C_V}.
  • Entropia para gás ideal entre dois estados (T_1,P_1)\to(T_2,P_2):
\Delta S = n C_P \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - n R \ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
(ou, alternativamente, \Delta S = n C_V\ln\!\frac{T_2}{T_1} + n R\ln\!\frac{V_2}{V_1}.)
Vou aplicar essas fórmulas de forma explícita em cada item. Calma: eu vou mostrar como achar T_2 em cada caso — é a peça chave.

Passo 3

Cálculos preliminares e constantes numéricas (tudo exibido passo a passo):
  • Constante dos gases: R = 8{,}314462\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
  • C_{V,m} = \tfrac{3}{2}R = 1{,}5\,R = 12{,}471693\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
  • C_{P,m} = C_{V,m}+R = \tfrac{5}{2}R = 20{,}786155\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
  • \gamma = \dfrac{C_{P,m}}{C_{V,m}} = \dfrac{5/2}{3/2} = \dfrac{5}{3}.
  • nR = 3{,}75\cdot R = 31{,}1792325\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • n C_V = 3{,}75\cdot C_{V,m} = 46{,}768849\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • n C_P = 3{,}75\cdot C_{P,m} = 77{,}948081\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Converter pressões para pascal: P_1 = 4{,}50\\ \text{bar} = 4{,}50\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa},\qquad P_2 = 1{,}50\\ \text{bar} = 1{,}50\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

  1. Característica do processo: adiabático reversível \Rightarrow q = 0 e o processo é reversível \Rightarrow \Delta S = 0.
  2. Para um gás ideal em expansão adiabática reversível vale a relação
T_2 = T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\tfrac{\gamma-1}{\gamma}}.
Aqui \tfrac{\gamma-1}{\gamma} = \dfrac{2/3}{5/3} = \dfrac{2}{5}=0{,}4. Então
T_2 = 298\\ \mathrm{K}\times\left(\frac{1}{3}\right)^{0{,}4}.
Calculemos:
\left(\frac{1}{3}\right)^{0{,}4} \approx 0{,}644518,\qquad T_2 \approx 298\times 0{,}644518 = 191{,}97\\ \mathrm{K}.
  1. Agora \Delta T = T_2 - T_1 \approx 191{,}97 - 298 = -106{,}03\\ \mathrm{K}.
  2. Energia interna:
\Delta U = n C_V (T_2-T_1) = 46{,}768849\cdot(-106{,}03)\\ \mathrm{J}\approx -4{,}961\\ \mathrm{kJ}.
  1. Trabalho: pela primeira lei, com q=0,
w = \Delta U \approx -4{,}961\\ \mathrm{kJ}.
(Lembre: negativo → trabalho realizado \emph{pelo} sistema.)
  1. Entalpia:
\Delta H = n C_P (T_2-T_1) = 77{,}948081\cdot(-106{,}03)\\ \mathrm{J}\approx -8{,}27\\ \mathrm{kJ}.
  1. Entropia:
\Delta S = 0\\ \mathrm{J\,K^{-1}} \quad\text{(processo adiabático reversível).}áí

Passo 5

Este caso é sutil: o processo é adiabático ( q=0) mas \emph{irreversível} porque a pressão externa é mantida constante (reduzida bruscamente) e igual a 1{,}50\\ \text{bar}. Precisamos achar a temperatura final T_2 impondo conservação de energia interna (já que q=0) e usando que o sistema atinge pressão final P_2=1{,}50\\ \text{bar}.
  1. Escrevemos a equação energia + trabalho com q=0:
\Delta U = w = -P_{\text{ext}}(V_2 - V_1).
  1. Usando V_i = \dfrac{n R T_i}{P_i} (gás ideal), substituímos na equação:
n C_V (T_2 - T_1) = -P_{\text{ext}}\left(\frac{n R T_2}{P_2} - \frac{n R T_1}{P_1}\right).
Dividindo por nR e rearranjando para isolar T_2:
\frac{C_V}{R}(T_2-T_1) = -P_{\text{ext}}\!\left(\frac{T_2}{P_2}-\frac{T_1}{P_1}\right)
\Rightarrow T_2\!\left(\frac{C_V}{R}+\frac{P_{\text{ext}}}{P_2}\right) = T_1\!\left(\frac{C_V}{R}+\frac{P_{\text{ext}}}{P_1}\right).
Portanto
T_2 = T_1\frac{\dfrac{C_V}{R}+\dfrac{P_{\text{ext}}}{P_1}}{\dfrac{C_V}{R}+\dfrac{P_{\text{ext}}}{P_2}}.
  1. Agora substituímos números: \dfrac{C_V}{R}=1{,}5, P_{\text{ext}}=P_2, P_{\text{ext}}/P_1=\tfrac{1{,}50}{4{,}50}=\tfrac{1}{3}, P_{\text{ext}}/P_2=1. Assim
T_2 = 298\\ \mathrm{K}\times\frac{1{,}5+0{,}333333}{1{,}5+1} = 298\times\frac{1{,}833333}{2{,}5}=298\times 0{,}7333333\approx 218{,}67\\ \mathrm{K}.
  1. \Delta T = T_2-T_1 \approx -79{,}33\\ \mathrm{K}.
  2. Energia interna:
\Delta U = n C_V (T_2-T_1) = 46{,}768849\cdot(-79{,}33)\\ \mathrm{J}\approx -3{,}71\\ \mathrm{kJ}.
  1. Trabalho (contra pressão externa constante):
w = -P_{\text{ext}}(V_2-V_1).
Calculemos V_1 e V_2 rapidamente (opcional para checar):
V_1 = \frac{n R T_1}{P_1},\qquad V_2 = \frac{n R T_2}{P_2}.
Substituindo dá o mesmo valor que \Delta U (porque q=0); numericamente
w \approx -3{,}71\\ \mathrm{kJ}.
  1. Entalpia:
\Delta H = n C_P (T_2-T_1) = 77{,}948081\cdot(-79{,}33)\\ \mathrm{J}\approx -6{,}18\\ \mathrm{kJ}.
  1. Entropia do sistema (mesmo sendo processo irreversível, \Delta S é função de estado e depende apenas de estados inicial e final):
\Delta S = n C_P \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - n R \ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
Com T_2/T_1 \approx 0{,}7333333 e P_2/P_1 = 1/3:
\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)\approx -0{,}310155,\qquad \ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{3}\right)\approx -1{,}098612.
Logo
\Delta S \approx 77{,}948081\cdot(-0{,}310155) - 31{,}1792325\cdot(-1{,}098612) \approx -24{,}16 + 34{,}27 = +10{,}11\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Observação física: \Delta S>0 porque o processo é irreversível (dissipação), apesar de adiabático.

Passo 6

  1. Se P_{\text{ext}}=0, então pelo trabalho contra pressão externa:
w = -P_{\text{ext}}(V_2-V_1) = 0.
  1. O processo é adiabático dado ( q=0) e w=0, então pela primeira lei:
\Delta U = 0 \quad\Rightarrow\quad T_2 = T_1 = 298\\ \mathrm{K}.
  1. Entalpia:
\Delta H = n C_P (T_2-T_1) = 0.
  1. Para que a pressão final interna seja P_2 = P_1/3 com a mesma temperatura, o volume final deve ser três vezes o inicial ( V_2=3V_1). A variação de entropia (função de estado) é
\Delta S = n R \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = n R \ln 3.
Numericamente,
\Delta S = 31{,}1792325\cdot 1{,}098612 \approx 34{,}27\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  1. Resumo rápido: q=0, w=0, \Delta U=0, \Delta H=0, \Delta S \approx 34{,}3\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Resposta

(a) q=0
(a) w\approx -4{,}96\\ \mathrm{kJ}
(a) \Delta U\approx -4{,}96\\ \mathrm{kJ}
(a) \Delta H\approx -8{,}27\\ \mathrm{kJ}
(a) \Delta S=0\\ \mathrm{J\,K^{-1}}
(b) q=0
(b) w\approx -3{,}71\\ \mathrm{kJ}
(b) \Delta U\approx -3{,}71\\ \mathrm{kJ}
(b) \Delta H\approx -6{,}18\\ \mathrm{kJ}
(b) \Delta S\approx +10{,}11\\ \mathrm{J\,K^{-1}}
(c) q=0
(c) w=0
(c) \Delta U=0
(c) \Delta H=0
(c) \Delta S\approx +34{,}27\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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