P5.16 3.75 moles of an ideal gas with
undergoes the transformations described in the following list from an initial state described by
and
bar. Calculate
, and
for each process.
a. The gas undergoes a reversible adiabatic expansion until the final pressure is one third its initial value.
b. The gas undergoes an adiabatic expansion against a constant external pressure of 1.50 bar until the final pressure is one third its initial value.
c. The gas undergoes an expansion against a constant external pressure of zero bar until the final pressure is equal to one third of its initial value.
a. The gas undergoes a reversible adiabatic expansion until the final pressure is one third its initial value.
b. The gas undergoes an adiabatic expansion against a constant external pressure of 1.50 bar until the final pressure is one third its initial value.
c. The gas undergoes an expansion against a constant external pressure of zero bar until the final pressure is equal to one third of its initial value.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
Dados fornecidos:
- número de mols:
. - capacidade térmica molar a volume constante:
. - temperatura inicial:
. - pressão inicial:
. - pressão final (em todos os itens):
.
O enunciado pede, para cada processo (a), (b) e (c), os valores de:
-
(calor trocado pelo sistema), -
(trabalho; vou usar a convenção explicada abaixo), -
(variação da energia interna), -
(variação da entalpia), -
(variação de entropia).
Observação: os valores de pressão fornecidos em bar serão convertidos para Pa (1 bar =
) quando necessário para cálculos numéricos.
Passo 2
Convenção de sinais e fórmulas básicas que vou usar (não inventei nada — são as relações padrão):
- Convenção de sinais: a primeira lei escrita como
onde
é o calor absorvido pelo sistema e
é o trabalho feito \emph{sobre} o sistema. Assim, se o sistema se expande e faz trabalho para fora,
será negativo.
- Trabalho contra uma pressão externa constante
:
- Para gás ideal (dependência interna e entalpia só com
):
onde
e
são as capacidades térmicas molares (por mol). Relacionam-se por
- Constante adiabática:
- Entropia para gás ideal entre dois estados
:
(ou, alternativamente,
.)
Vou aplicar essas fórmulas de forma explícita em cada item. Calma: eu vou mostrar como achar
em cada caso — é a peça chave.
Passo 3
Cálculos preliminares e constantes numéricas (tudo exibido passo a passo):
- Constante dos gases:
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. - Converter pressões para pascal:
Passo 4
-
Característica do processo: adiabático reversível
e o processo é reversível . -
Para um gás ideal em expansão adiabática reversível vale a relação
Aqui
. Então
Calculemos:
-
Agora
. -
Energia interna:
- Trabalho: pela primeira lei, com
,
(Lembre: negativo → trabalho realizado \emph{pelo} sistema.)
- Entalpia:
- Entropia:
Passo 5
Este caso é sutil: o processo é adiabático (
) mas \emph{irreversível} porque a pressão externa é mantida constante (reduzida bruscamente) e igual a
. Precisamos achar a temperatura final
impondo conservação de energia interna (já que
) e usando que o sistema atinge pressão final
.
- Escrevemos a equação energia + trabalho com
:
- Usando
(gás ideal), substituímos na equação:
Dividindo por
e rearranjando para isolar
:
Portanto
- Agora substituímos números:
, , , . Assim
-
. -
Energia interna:
- Trabalho (contra pressão externa constante):
Calculemos
e
rapidamente (opcional para checar):
Substituindo dá o mesmo valor que
(porque
); numericamente
- Entalpia:
- Entropia do sistema (mesmo sendo processo irreversível,
é função de estado e depende apenas de estados inicial e final):
Com
e
:
Logo
Observação física:
porque o processo é irreversível (dissipação), apesar de adiabático.
Passo 6
- Se
, então pelo trabalho contra pressão externa:
- O processo é adiabático dado (
) e , então pela primeira lei:
- Entalpia:
- Para que a pressão final interna seja
com a mesma temperatura, o volume final deve ser três vezes o inicial ( ). A variação de entropia (função de estado) é
Numericamente,
- Resumo rápido:
, , , , .
Resposta
(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
(b)
(b)
(b)
(b)
(b)
(b)
(b)
(b)
(b)
(c)
(c)
(c)
(c)
(c)
(c)
(c)
(c)
(c)