Ex 16. Uma empresa aplica testes para contratar funcionários que irão trabalhar na montagem de um determinado produto. No teste os candidatos devem ser precisos e rápidos. Suponha que estudos anteriores indicaram que o tempo necessário para a montagem completa do produto seja distribuído normalmente com média igual a 90 minutos e desvio padrão de 20 minutos. Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em menos de 80 minutos. Se 65 candidatos irão realizar este teste:
a) Espera-se que serão aprovados quantos candidatos?
b) Para os 5 \% melhores candidatos, o salário será maior. Qual tempo um candidato deve obter para conseguir um salário maior?

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de montagem X é normalmente distribuído com média \mu=90 minutos e desvio padrão \sigma=20 minutos. Há 65 candidatos e quem terminar em menos de 80 minutos passa no teste. Vamos usar propriedades da distribuição normal para (a) calcular a proporção aprovada e depois multiplicar por 65, e para (b) encontrar o tempo-limite que corresponde aos 5\% mais rápidos.

Passo 2

Para achar a proporção de candidatos que passam, calculamos
P(X<80) = P\Bigl(Z<\frac{80-90}{20}\Bigr) = P\bigl(Z<-0,5\bigr),
onde Z\sim N(0,1). Pela tabela da normal padrão,
P(Z<-0,5)\approx 0,3085.

Passo 3

Como espera-se que essa proporção se repita entre os 65 candidatos, o número esperado de aprovados é
65 \times 0,3085 \approx 20,05.
Como não podemos ter fração de pessoa, esperamos cerca de 20 aprovados.

Passo 4

Para os 5\% melhores (i.e.\ os 5\% que terminam mais rápido), queremos o ponto t tal que
P(X < t) = 0{,}05.
No padrão, isto equivale a achar z_{0,05} com
P(Z<z_{0,05})=0{,}05,
que dá aproximadamente z_{0,05}=-1,645.

Passo 5

Voltando à variável original,
t = \mu + z_{0,05}\,\sigma = 90 + (-1,645)\times20 \approx 57,1\\ \text{minutos}.
Ou seja, para estar entre os 5\% melhores, o candidato deve terminar em menos de cerca de 57{,}1 minutos.

Resposta

(a) Espera-se que cerca de 20 candidatos sejam aprovados.
(b) O tempo-limite para estar entre os 5\% melhores é aproximadamente 57{,}1 minutos.

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