Um compressor reversível admite 1244 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de ar a 0,988 bar e 25^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{e} comprime-os isoentropicamente ( \gamma=1,40 ) até 4,38 bar.
a) Calcule a potência do compressor
b) Determine a temperatura do ar à saída do compressor

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular a potência necessária do compressor (potência de entrada elétrica/mechanical requerida).
  2. Determinar a temperatura do ar à saída do compressor.
Dados fornecidos (vou listar tudo com clareza):
\dot{m}=1244\\ \mathrm{kg/s}
P_1=0,988\\ \mathrm{bar}
T_1=25^\circ\mathrm{C}
P_2=4,38\\ \mathrm{bar}
\gamma=1,40
Observações úteis que usarei (não peço nada a você; já assumo para a resolução prática):
  • Vou tratar o ar como gás ideal com constante dos gases R=287\\ \mathrm{J/(kg\;K)}.
  • Temperaturas serão convertidas para Kelvin quando necessário: T_1 em Kelvin.
  • Processo é isoentrópico e reversível, então uso as relações de gás ideal para processo adiabático reversível.

Passo 2

Primeiro passo teórico importante (aulas rápidas pra você entender): para um gás ideal em processo isoentrópico (adiabático reversível) vale a relação entre temperaturas e pressões
\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Explicando cada símbolo:
  • \,T_1 e \,T_2 são as temperaturas absoluta (Kelvin) nas seções 1 (entrada) e 2 (saída).
  • \,P_1 e \,P_2 são as pressões absolutas nas seções 1 e 2.
  • \gamma é a razão de capacidades térmicas (adiabático) \gamma=c_p/c_v.
    Essa relação vem da combinação das leis do gás ideal com a condição de processo adiabático reversível (isentropia). É a fórmula padrão que usamos em compressores teóricos.

Passo 3

Converto a temperatura de entrada para Kelvin:
T_1 = 25^\circ\mathrm{C}=25+273,15=298,15\\ \mathrm{K}.
Calculo a razão de pressões:
\frac{P_2}{P_1}=\frac{4,38}{0,988}=4,4334\\ (\text{aprox.}).
Calculo o expoente:
\frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{1,40-1}{1,40}=\frac{0,40}{1,40}=0,285714\\ (\text{ou }2/7).

Passo 4

Agora aplico a relação isoentrópica para obter T_2.
Usando
T_2=T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}},
fazendo os cálculos numéricos (mostro o procedimento para você poder refazer à mão, usando logaritmos se for preciso):
\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}=(4,4334)^{0,285714}\approx 1,5309.
Portanto
T_2 = 298,15\cdot 1,5309 \approx 456,0\\ \mathrm{K}.
Converto para Celsius (porque o enunciado pediu “temperatura do ar à saída”):
T_2=456,0\\ \mathrm{K}=456,0-273,15=182,85^\circ\mathrm{C}\approx 182,9^\circ\mathrm{C}.
Comentário didático: veja que a temperatura subiu bastante — é normal em compressão isoentrópica com grande razão de pressão. No processo isoentrópico a energia fornecida ao fluido aumenta sua energia interna (aumentando T) sem perdas por calor.

Passo 5

Agora precisamos da potência. Primeiro, precisamos do calor específico à pressão constante c_p do ar. Para gás ideal com razão \gamma e constante R vale
c_p=\frac{\gamma R}{\gamma-1}.
Expliquei: isso vem das relações c_p-c_v=R e \gamma=c_p/c_v.
Substituo valores (com R=287\\ \mathrm{J/(kg\;K)}):
c_p=\frac{1,40\cdot 287}{1,40-1}=\frac{401,8}{0,40}=1004,5\\ \mathrm{J/(kg\;K)}.
(Esse valor coincide com o valor tabulado aproximado c_p\approx1005\\ \mathrm{J/(kg\;K)}.)

Passo 6

Para gás ideal a entalpia específica varia com temperatura como \Delta h = c_p\Delta T. Em processo isoentrópico reversível sem troca de massa adicional a energia específica fornecida ao fluido (trabalho por unidade de massa, assumindo não haver energia potencial/ cinética significativa) é
w = h_2 - h_1 = c_p (T_2 - T_1).
Explicando: no compressor ideal, o trabalho específico é a diferença de entalpia (variação de energia por massa) e para gás ideal com c_p constante essa diferença é c_p\Delta T.
Calculo w:
T_2-T_1=456,0-298,15=157,85\\ \mathrm{K}.
w = 1004,5\cdot 157,85 \approx 158\,560,3\\ \mathrm{J/kg} \approx 158,56\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 7

Finalmente, potência total (taxa de trabalho) é massa vezes trabalho específico:
\dot{W}=\dot{m}\,w.
Substituindo:
\dot{W}=1244\cdot 158\,560,3\\ \mathrm{J/s}\approx 197\,249\,044\\ \mathrm{W}.
Converto para megawatts:
\dot{W}\approx 1,97\times 10^{8}\\ \mathrm{W}\approx 197,25\\ \mathrm{MW}.
Observação sobre sinal: como é potência de entrada ao compressor, podemos dizer que o compressor precisa fornecer aproximadamente 197,25\\ \mathrm{MW} (valor positivo indicando potência fornecida ao fluido).

Passo 8

Resumo final dos valores (para conferência rápida):
  • Temperatura de saída: T_2\approx456,0\\ \mathrm{K} ou 182,9^\circ\mathrm{C}.
  • Potência requerida: \dot{W}\approx1,9725\times10^{8}\\ \mathrm{W} ou \approx197,25\\ \mathrm{MW}.
Força extra de amigo: você conseguiu! Se quiser, eu repito os cálculos com menos casas decimais ou mostro como fazer tudo numa folha sem calculadora (usando tabelas/ aproximações). Agora você tem os passos e a física por trás.

Resposta

\dot{W}\approx1,97\times10^{8}\\ \mathrm{W}\approx197,25\\ \mathrm{MW}
T_2\approx456,0\\ \mathrm{K}=182,9^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados