Um compressor de 120 kW de potência, resfriado a água admite 0,5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de ar (massa molar =28,97 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ) a 100 kPa e 300 K e comprime-o até 750 kPa e 350 K. Por questões de segurança, o aumento de temperatura da água de refrigeração do compressor não pode exceder 15^{\circ} \mathrm{C}. Determine a vazão mínima de água de refrigeração que se deve usar.
Considere o C_{p} do ar e da água como 1,007 e 1,184 kJ/K kg, respectivamente.

Passo 1

O problema pede a vazão mínima de água de refrigeração (fluxo de massa ou volume) necessária para que a elevação de temperatura da água não exceda 15^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Potência entregue ao compressor: } \dot{W}=120\\ \mathrm{kW}.\\\ &\text{Vazão volumétrica de ar admitido: } \dot{V}=0,5\\ \mathrm{m^3/s}.\\\ &\text{Massa molar do ar: } M=28{,}97\\ \mathrm{g/mol}=28{,}97\\ \mathrm{kg/kmol}.\\\ &\text{Pressão de admissão do ar: } p_1=100\\ \mathrm{kPa}.\\\ &\text{Temperatura de admissão do ar: } T_1=300\\ \mathrm{K}.\\\ &\text{Pressão de descarga do ar: } p_2=750\\ \mathrm{kPa}.\\\ &\text{Temperatura de descarga do ar: } T_2=350\\ \mathrm{K}.\\\ &\text{Capacidade térmica (a pressão constante) do ar: } c_{p,a}=1{,}007\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)}.\\\ &\text{Capacidade térmica da água: } c_{p,w}=1{,}184\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)}.\\\ &\text{Aument. máximo de temperatura da água: } \Delta T_w^{\max}=15^\circ\mathrm{C}.\\\ \end{aligned}êãéããããéãéááá
Não vou resolver ainda; só deixei claro o que é pedido e os valores que podemos usar.

Passo 2

Primeiro precisamos da densidade do ar na admissão para transformar a vazão volumétrica em vazão mássica. Para isso uso a constante dos gases ideais específica do ar. Explico como obter:
a constante universal dos gases é \displaystyle R_u=8{,}314\\ \mathrm{kJ/(kmol\;K)}. A constante específica do ar vale
R=\frac{R_u}{M}.
Aqui R tem unidade \mathrm{kJ/(kg\;K)} quando M está em \mathrm{kg/kmol}. Substituindo:
R=\frac{8{,}314}{28{,}97}=0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)}.
Observação: esse R é o que aparece na equação dos gases ideais \;p=\rho R T\;.

Passo 3

Agora calculo a densidade do ar na condição de admissão usando a lei dos gases ideais rearranjada:
\rho=\frac{p}{R T}.
Aqui p deve estar em \mathrm{kPa}, R em \mathrm{kJ/(kg\;K)} e T em \mathrm{K}; o resultado fica em \mathrm{kg/m^3}. Substituindo p_1=100\\ \mathrm{kPa} e T_1=300\\ \mathrm{K}:
\rho_1=\frac{100}{0{,}287\cdot 300}= \frac{100}{86{,}1}=1{,}161\\ \mathrm{kg/m^3}\\ (\text{aprox.}).
Explicando: a fórmula vem direto da ideia p=\rho R T; isola-se \rho.

Passo 4

Transformo a vazão volumétrica de ar em vazão mássica:
\dot{m}_a=\rho_1\dot{V} = 1{,}161\cdot 0{,}5 = 0{,}5806\\ \mathrm{kg/s}.
Interpretação: \dot{m}_a é a massa de ar que atravessa o compressor por segundo.

Passo 5

Fazemos agora o balanço de energia no compressor. Em regime permanente, desprezando variações de energia cinética/potencial, a potência entregue ao compressor vai em parte para elevar a entalpia do ar e em parte é removida pela água de refrigeração. Escrevemos:
\dot{W}=\dot{m}_a c_{p,a}(T_2-T_1)+\dot{Q}_w,
onde \dot{Q}_w é a potência térmica retirada pela água (em \mathrm{kW}). Aqui c_{p,a} é dado em \mathrm{kJ/(kg\;K)}, multiplicando por \dot{m}_a (kg/s) e por \Delta T (K) dá kJ/s = kW. Isolando \dot{Q}_w:
\dot{Q}_w=\dot{W}-\dot{m}_a c_{p,a}(T_2-T_1).

Passo 6

Calculo a taxa de aumento de entalpia do ar:
\dot{m}_a c_{p,a}(T_2-T_1)=0{,}5806\cdot 1{,}007\cdot (350-300).
Faço em passos: T_2-T_1=50\\ \mathrm{K}. c_{p,a}(T_2-T_1)=1{,}007\cdot 50=50{,}35\\ \mathrm{kJ/kg}. Multiplicando pela vazão mássica:
\dot{m}_a c_{p,a}(T_2-T_1)=0{,}5806\cdot 50{,}35=29{,}22\\ \mathrm{kW}\\ (\text{aprox.}).

Passo 7

Agora a potência que precisa ser removida pela água é:
\dot{Q}_w=\dot{W}-29{,}22=120-29{,}22=90{,}78\\ \mathrm{kW}.
Interpretação: dos 120\\ \mathrm{kW} fornecidos ao compressor, cerca de 29{,}22\\ \mathrm{kW} ficam no ar (aquecendo-o) e o restante 90{,}78\\ \mathrm{kW} deve ser levado pela água de refrigeração.

Passo 8

Para que a água não aumente mais do que \Delta T_w^{\max}=15^\circ\mathrm{C}, uso o balanço térmico na água:
\dot{Q}_w=\dot{m}_w c_{p,w}\Delta T_w.
Isolando a vazão mássica de água \dot{m}_w:
\dot{m}_w=\frac{\dot{Q}_w}{c_{p,w}\Delta T_w}=\frac{90{,}78}{1{,}184\cdot 15}.
Calculo o denominador: 1{,}184\cdot 15=17{,}76\\ \mathrm{kJ/kg}. Então
\dot{m}_w=\frac{90{,}78}{17{,}76}=5{,}112\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 9

Converto essa vazão mássica para vazão volumétrica, usando densidade aproximada da água \rho_w\approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3}:
\dot{V}_w=\frac{\dot{m}_w}{\rho_w}=\frac{5{,}112}{1000}=0{,}005112\\ \mathrm{m^3/s}.
Em litros por segundo isso é 5{,}112\\ \mathrm{L/s}. Em m^3/h multiplica-se por 3600: 0{,}005112\cdot 3600=18{,}404\\ \mathrm{m^3/h} (opcional).

Passo 10

Resumo e comentário final rápido: a massa de água necessária é da ordem de alguns kg/s — nada absurdo — e você pode informar essa vazão na unidade que preferir. Força aí que é só aplicar a fórmula na prova e lembrar de converter unidades corretamente!

Resposta

\dot{m}_w=5{,}112\\ \mathrm{kg/s}
\dot{V}_w=0{,}005112\\ \mathrm{m^3/s} (equivalente a 5{,}112\\ \mathrm{L/s})

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