16 Quantos inteiros entre 1 e 10.000, inclusive, não são divisíveis por 3,5 e 7?

Passo 1

O enunciado pede para contar quantos inteiros entre 1 e 10 000, inclusive, não são divisíveis por 3, 5 nem 7. O conteúdo principal é o Princípio da Inclusão-Exclusão, que permite achar quantos números são divisíveis por pelo menos um dos três e então subtrair do total.

Passo 2

Vamos primeiro contar quantos números entre 1 e 10 000 são divisíveis por cada um isoladamente:
\lfloor\tfrac{10000}{3}\rfloor = 3333,\quad \lfloor\tfrac{10000}{5}\rfloor = 2000,\quad \lfloor\tfrac{10000}{7}\rfloor = 1428.

Passo 3

Agora contamos quantos são divisíveis por cada par (usando o mínimo múltiplo comum):
\lfloor\tfrac{10000}{15}\rfloor = 666,\quad \lfloor\tfrac{10000}{21}\rfloor = 476,\quad \lfloor\tfrac{10000}{35}\rfloor = 285.

Passo 4

Finalmente, contamos quantos são divisíveis por 3, 5 e 7 ao mesmo tempo (múltiplo de 105):
\lfloor\tfrac{10000}{105}\rfloor = 95.

Passo 5

Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, o total de números divisíveis por pelo menos um dos três é
3333 + 2000 + 1428 - (666 + 476 + 285) + 95 = 5429.

Passo 6

Como há 10 000 inteiros no total, o número que não é divisível por nenhum dos três é
10000 - 5429 = 4571.

Resposta

4571

Exercícios relacionados