9.16 • Para
, a roda de um esmeril possui velocidade angular igual a
. Ela possui uma aceleração angular constante igual a
quando um freio é acionado em
. A partir desse instante, ela gira 432 rad à medida que para com uma aceleração angular constante. (a) Qual foi o deslocamento angular total da roda desde
até o instante em que ela parou? (b) Em que instante ela parou? (c) Qual foi o módulo de sua aceleração quando ela diminuía de velocidade?
Passo 1
Vou listar claramente os dados que o enunciado fornece e o que ele pede.
Dados fornecidos:
- No instante
a velocidade angular inicial é . - Para
a aceleração angular é constante e igual a . - Em
o freio é acionado. A partir desse instante passa a haver outra aceleração angular constante (vamos chamá-la de , negativa) até a roda parar. - Durante o período de frenagem (a partir de
até parar) a roda gira enquanto diminui a velocidade até .
O enunciado pede:
(a) O deslocamento angular total da roda desde até o instante em que ela parou.
(b) Em que instante de tempo a roda parou (ou seja, o tempo absoluto desde ).
(c) O módulo da aceleração angular durante a fase em que ela diminuía de velocidade (ou seja, ).
(a) O deslocamento angular total da roda desde
(b) Em que instante de tempo a roda parou (ou seja, o tempo absoluto desde
(c) O módulo da aceleração angular durante a fase em que ela diminuía de velocidade (ou seja,
Passo 2
Relembrando as equações de movimento angular com aceleração angular constante (análogas às do movimento retilíneo uniformemente acelerado). Aqui explico cada fórmula e o que cada símbolo significa:
-
é a velocidade angular no instante . -
é a velocidade angular inicial no instante de referência. -
é a aceleração angular (constante). -
é o deslocamento angular acumulado desde a origem. -
é o tempo decorrido.
As três fórmulas úteis são:
A primeira conecta velocidade e aceleração; a segunda dá o deslocamento angular; a terceira elimina o tempo e relaciona velocidades com deslocamento. Vou usar essas fórmulas nos passos seguintes.
Passo 3
Calcular o deslocamento angular durante o intervalo inicial
(chamo esse deslocamento de
). Aplicando
com
,
e
:
Calcule passo a passo:
Somando:
Passo 4
O enunciado diz que, a partir de
, a roda gira
até parar. Portanto o deslocamento angular total desde
até parar é
Isso responde a parte (a).
Passo 5
Agora precisamos achar a aceleração angular durante a frenagem (
) e o tempo até parar. Primeiro calculo a velocidade angular no instante
— esta será a velocidade inicial da fase de frenagem:
Passo 6
Usando a fórmula que relaciona velocidades e deslocamento (sem envolver tempo),
a roda para na condição
. Logo
Substituindo
e
:
Calcule:
Simplificando a fração: dividir numerador e denominador por
dá
. Portanto
Passo 7
Calcular o tempo que a frenagem levou (durante a fase com
). Usando
com
:
Substituindo
e
:
Simplificando
, ou em decimal
Passo 8
Agora o instante absoluto em que a roda parou é o instante inicial da frenagem (
) mais o tempo da frenagem:
Passo 9
O módulo da aceleração angular durante a desaceleração é o valor absoluto de
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)