9.16 • Para t=0, a roda de um esmeril possui velocidade angular igual a 24,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Ela possui uma aceleração angular constante igual a 30,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2} quando um freio é acionado em t=2,0 \mathrm{~s}. A partir desse instante, ela gira 432 rad à medida que para com uma aceleração angular constante. (a) Qual foi o deslocamento angular total da roda desde t=0 até o instante em que ela parou? (b) Em que instante ela parou? (c) Qual foi o módulo de sua aceleração quando ela diminuía de velocidade?

Passo 1

Vou listar claramente os dados que o enunciado fornece e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • No instante t=0 a velocidade angular inicial é \omega_0 = 24,0\\ \mathrm{rad/s}.
  • Para 0 \le t \le 2,0\\ \mathrm{s} a aceleração angular é constante e igual a \alpha_1 = 30,0\\ \mathrm{rad/s^2}.
  • Em t=2,0\\ \mathrm{s} o freio é acionado. A partir desse instante passa a haver outra aceleração angular constante (vamos chamá-la de \alpha_2, negativa) até a roda parar.
  • Durante o período de frenagem (a partir de t=2,0\\ \mathrm{s} até parar) a roda gira \Delta\theta_2 = 432\\ \mathrm{rad} enquanto diminui a velocidade até \omega=0.
O enunciado pede:
(a) O deslocamento angular total da roda desde t=0 até o instante em que ela parou.
(b) Em que instante de tempo a roda parou (ou seja, o tempo absoluto desde t=0).
(c) O módulo da aceleração angular durante a fase em que ela diminuía de velocidade (ou seja, |\alpha_2|).

Passo 2

Relembrando as equações de movimento angular com aceleração angular constante (análogas às do movimento retilíneo uniformemente acelerado). Aqui explico cada fórmula e o que cada símbolo significa:
  • \omega(t) é a velocidade angular no instante t.
  • \omega_0 é a velocidade angular inicial no instante de referência.
  • \alpha é a aceleração angular (constante).
  • \theta(t) é o deslocamento angular acumulado desde a origem.
  • t é o tempo decorrido.
As três fórmulas úteis são:
\omega(t)=\omega_0+\alpha t,
\theta(t)=\theta_0+\omega_0 t+\tfrac{1}{2}\alpha t^2,
\omega^2=\omega_0^2+2\alpha(\theta-\theta_0).
A primeira conecta velocidade e aceleração; a segunda dá o deslocamento angular; a terceira elimina o tempo e relaciona velocidades com deslocamento. Vou usar essas fórmulas nos passos seguintes.

Passo 3

Calcular o deslocamento angular durante o intervalo inicial 0\le t\le 2,0\\ \mathrm{s} (chamo esse deslocamento de \Delta\theta_1). Aplicando
\Delta\theta_1=\omega_0 t+\tfrac{1}{2}\alpha_1 t^2,
com \omega_0=24,0\\ \mathrm{rad/s}, \alpha_1=30,0\\ \mathrm{rad/s^2} e t=2,0\\ \mathrm{s}:
Calcule passo a passo:
\omega_0 t = 24,0\times 2,0 = 48,0\\ \mathrm{rad},
\tfrac{1}{2}\alpha_1 t^2 = \tfrac{1}{2}\times 30,0\times (2,0)^2 = 0,5\times 30,0\times 4,0 = 60,0\\ \mathrm{rad}.
Somando:
\Delta\theta_1 = 48,0 + 60,0 = 108,0\\ \mathrm{rad}.

Passo 4

O enunciado diz que, a partir de t=2,0\\ \mathrm{s}, a roda gira \Delta\theta_2 = 432\\ \mathrm{rad} até parar. Portanto o deslocamento angular total desde t=0 até parar é
\Delta\theta_{\text{total}}=\Delta\theta_1+\Delta\theta_2 = 108,0 + 432 = 540,0\\ \mathrm{rad}.
Isso responde a parte (a).

Passo 5

Agora precisamos achar a aceleração angular durante a frenagem ( \alpha_2) e o tempo até parar. Primeiro calculo a velocidade angular no instante t=2,0\\ \mathrm{s} — esta será a velocidade inicial da fase de frenagem:
\omega_2=\omega_0+\alpha_1 t = 24,0 + 30,0\times 2,0 = 24,0 + 60,0 = 84,0\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Usando a fórmula que relaciona velocidades e deslocamento (sem envolver tempo),
\omega_f^2=\omega_2^2+2\alpha_2\Delta\theta_2,
a roda para na condição \omega_f=0. Logo
0=\omega_2^2+2\alpha_2\Delta\theta_2 \quad\Rightarrow\quad \alpha_2=-\dfrac{\omega_2^2}{2\Delta\theta_2}.
Substituindo \omega_2=84,0\\ \mathrm{rad/s} e \Delta\theta_2=432\\ \mathrm{rad}:
Calcule:
\omega_2^2=(84,0)^2=7056,\qquad 2\Delta\theta_2=2\times 432 = 864.
\alpha_2 = -\dfrac{7056}{864}.
Simplificando a fração: dividir numerador e denominador por 24 \dfrac{7056}{864}=\dfrac{294}{36}=\dfrac{49}{6}. Portanto
\alpha_2 = -\dfrac{49}{6}\\ \mathrm{rad/s^2}\approx -8,166\ldots\\ \mathrm{rad/s^2}.

Passo 7

Calcular o tempo que a frenagem levou (durante a fase com \alpha_2). Usando \omega_f=\omega_2+\alpha_2 \Delta t_2 com \omega_f=0:
0=\omega_2+\alpha_2\Delta t_2 \quad\Rightarrow\quad \Delta t_2=-\dfrac{\omega_2}{\alpha_2}.
Substituindo \omega_2=84,0 e \alpha_2=-49/6:
\Delta t_2 = -\dfrac{84}{-49/6} = \dfrac{84\times 6}{49} = \dfrac{504}{49}.
Simplificando \dfrac{504}{49}=\dfrac{72}{7}, ou em decimal
\Delta t_2=\dfrac{72}{7}\\ \mathrm{s}\approx 10,2857\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Agora o instante absoluto em que a roda parou é o instante inicial da frenagem ( 2,0\\ \mathrm{s}) mais o tempo da frenagem:
t_{\text{parou}} = 2,0 + \Delta t_2 = 2,0 + \dfrac{72}{7} = \dfrac{86}{7}\\ \mathrm{s}\approx 12,2857\\ \mathrm{s}.

Passo 9

O módulo da aceleração angular durante a desaceleração é o valor absoluto de \alpha_2:
|\alpha_2| = \dfrac{49}{6}\\ \mathrm{rad/s^2}\approx 8,166\ldots\\ \mathrm{rad/s^2}.

Resposta

(a) \Delta\theta_{\text{total}}=540,0\\ \mathrm{rad}
(b) t_{\text{parou}}=\dfrac{86}{7}\\ \mathrm{s}\approx 12,2857\\ \mathrm{s}
(c) |\alpha_2|=\dfrac{49}{6}\\ \mathrm{rad/s^2}\approx 8,166\\ \mathrm{rad/s^2}