6.16- Um submarino pesa 8800 kN . Com esse peso ele flutua na superfície da água doce com 90 \% do seu volume total imerso. Que volume de água deve ser admitido em seus tanques afim de que ele possa submergir totalmente?
Dados: \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
\rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}

Passo 1

O enunciado diz que um submarino de peso W=8800\\ \text{kN} flutua em água doce com 90\% do seu volume total V_0 imerso e pede o volume de água que devemos admitir nos tanques para que ele submerja totalmente. O conteúdo usado aqui é o princípio de Arquimedes, que afirma que o empuxo é igual ao peso do fluido deslocado:
F_{\text{empuxo}} = \rho\,g\,V_{\text{deslocado}}.

Passo 2

Na condição de equilíbrio quando flutua com 90\% imerso, o empuxo vale exatamente o peso do submarino:
\rho\,g\,(0,9\,V_0) = W.
Aqui \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}. Vamos usar essa relação para determinar V_0.

Passo 3

Isolando V_0 na equação anterior, temos
V_0 = \frac{W}{0,9\,\rho\,g}.
Substituindo os valores W=8800\times10^3\\ \mathrm{N},
V_0 = \frac{8800\times10^3}{0,9 \times 1000 \times 9,8}\\ \mathrm{m^3} \approx 998{,}0\\ \mathrm{m^3}.

Passo 4

Para o submarino submergir totalmente, o empuxo deve igualar o novo peso total, que é o peso original mais o peso da água admitida \rho\,g\,V_{\text{adm}}. Assim:
W + \rho\,g\,V_{\text{adm}} = \rho\,g\,V_0.
Dessa forma, podemos resolver para o volume de água admitida V_{\text{adm}}.

Passo 5

Isolando V_{\text{adm}},
V_{\text{adm}} = \frac{\rho\,g\,V_0 - W}{\rho\,g} = \frac{W\bigl(\frac{1}{0,9}-1\bigr)}{\rho\,g} = \frac{W}{\rho\,g}\,\frac{0,1}{0,9}.
Como \tfrac{W}{\rho\,g}=\tfrac{8800\times10^3}{1000\cdot9,8}\approx898{,}0\\ \mathrm{m^3},
V_{\text{adm}} \approx 898{,}0\times\frac{0,1}{0,9} \approx 99{,}8\\ \mathrm{m^3}.

Resposta

O submarino deve admitir aproximadamente 99{,}8\\ \mathrm{m^3} de água nos tanques para submergir totalmente.

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