( ) 160. É sabido que laranjas podem ser expostas a temperaturas de congelamento por curtos períodos de tempo, sem sofrer sérios danos. Como um caso representativo, considere uma laranja com diâmetro de 0,1 \mathrm{~m} originalmente a uma temperatura uniforme de 5^{\circ} \mathrm{C}, exposta repentinamente a um ar ambiente a -5^{\circ} \mathrm{C}. Para um coeficiente de película, entre o ar e a superfície da laranja, igual a 15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}, quanto tempo levará para a superfície da laranja atingir 0^{\circ} \mathrm{C} ? As propriedades da laranja são: \mathrm{k}=0,47 \mathrm{~W} / \mathrm{mk} ; \rho=940 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=3,8 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}.

Passo 1

O enunciado é sobre condução transiente num corpo esférico (a laranja) de diâmetro \,0,1\\ \mathrm{m}, inicialmente a 5^\circ\mathrm C, exposta a um fluido a -5^\circ\mathrm C com coeficiente de convecção h=15\\ \mathrm{W/m^2K}. Queremos saber quanto tempo leva para a temperatura da superfície da esfera atingir 0^\circ\mathrm C. Como o número de Biot vai dar \mathrm{Bi}>0,1, não podemos usar o modelo de capacitância lumped; vamos recorrer ao gráfico de Heisler para esfera, que fornece \displaystyle\frac{T_s-T_\infty}{T_0-T_\infty} em função de \displaystyle\frac{\alpha\,t}{R^2} para diversos valores de \mathrm{Bi}.

Passo 2

Calcular a difusividade térmica \alpha da laranja usando
\alpha = \frac{k}{\rho\,c_p}
com k=0,47\\ \mathrm{W/mK}, \rho=940\\ \mathrm{kg/m^3} e c_p=3{,}8\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}=3800\\ \mathrm{J/(kg\,K)}:
\alpha = \frac{0,47}{940\times3800} \approx1{,}32\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}.

Passo 3

Determinar o número de Biot para a esfera, usando o comprimento característico L_c=R/3 ou diretamente L_c=V/A=R/3. Como R=0,05\\ \mathrm{m}:
L_c = \frac{R}{3}=0,01667\\ \mathrm{m}, \quad \mathrm{Bi} = \frac{h\,L_c}{k} = \frac{15\times0,01667}{0,47} \approx0{,}532.

Passo 4

No gráfico de Heisler para esfera, o eixo vertical mostra
\frac{T_s-T_\infty}{T_0-T_\infty},
e o eixo horizontal mostra \alpha t/R^2. Aqui
T_s=0,\quad T_\infty=-5,\quad T_0=5 \quad\Longrightarrow\quad \frac{T_s-T_\infty}{T_0-T_\infty} =\frac{0-(-5)}{5-(-5)} =\frac{5}{10}=0{,}5.
Procuramos, na curva correspondente a \mathrm{Bi}=0{,}532, o valor de \alpha t/R^2 que dá 0{,}5. Interpolando entre as curvas de \mathrm{Bi}=0{,}5 e \mathrm{Bi}=0{,}75,
obtemos aproximadamente
\frac{\alpha\,t}{R^2}\approx0{,}172.

Passo 5

Finalmente, isolamos t:
t = \frac{R^2}{\alpha}\,\Bigl(\frac{\alpha\,t}{R^2}\Bigr) = \frac{(0,05)^2}{1{,}32\times10^{-7}}\times0{,}172 \approx3{,}27\times10^{3}\\ \mathrm{s}.
Convertendo para minutos, dá cerca de 55 minutos.

Resposta

O tempo para a superfície da laranja atingir 0^\circ\mathrm C é aproximadamente
t \approx 3{,}3\times10^{3}\\ \mathrm{s} \quad(\approx55\\ \mathrm{min}).

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