( ) 161. Na cura de pneus de borracha, o processo de vulcanização requer que a carcaça do pneu, originalmente a 295 K , seja aquecida, de modo que sua camada central atinja uma temperatura mínima de 410 K . Esse aquecimento é feito introduzindo vapor a 435 K em ambos os lados. Determine o tempo necessário, depois de introduzir o vapor, para que uma carcaça de pneu de 3 cm de espessura atinja a condição especificada para a temperatura central. Para borracha use \mathrm{k}=0,1485 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ; \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=2000 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \mathrm{K} ; \rho=1200 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e considere \mathrm{h}=150 \mathrm{~kW} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. (x \mathrm{x}_{1} é metade da espessura)

Passo 1

Temos uma carcaça de pneu modelada como uma parede plana de espessura total 2L=0{,}03\\ \mathrm m (logo L=x_1=0{,}015\\ \mathrm m). Inicialmente toda a borracha está a T_i=295\\ \mathrm K. Em t=0 aplicamos vapor a T_\infty=435\\ \mathrm K em ambas as faces, com coeficiente de convecção h=150\\ \mathrm{kW/(m^2K)}=1{,}5\times10^5\\ \mathrm{W/(m^2K)}. Sabemos que queremos que a temperatura no centro atinja T(0,t)=410\\ \mathrm K. O conteúdo é condução transiente em parede plana com convecção, e vamos usar a solução para superfície praticamente a temperatura constante (Bi grande) e aproximar pelo primeiro termo da série.

Passo 2

Calculemos a difusividade térmica da borracha:
\alpha=\frac{k}{\rho c_p} =\frac{0{,}1485\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}}{(1200\\ \mathrm{kg/m^3})(2000\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)})} =6{,}19\times10^{-8}\\ \mathrm{m^2/s}.

Passo 3

Verifiquemos o número de Biot para ver se a superfície pode ser tomada como T_s=T_\infty:
\mathrm{Bi}=\frac{h\,L}{k} =\frac{1{,}5\times10^5\\ \mathrm{W/(m^2K)}\times0{,}015\\ \mathrm m}{0{,}1485\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}} \approx1{,}5\times10^4\gg0{,}1.
Como \mathrm{Bi} é muito grande, a resistência de convecção é desprezível comparada à resistência interna; a superfície aproxima-se quase instantaneamente de T_\infty.

Passo 4

Definamos a temperatura adimensional no centro:
\theta =\frac{T(0,t)-T_\infty}{T_i - T_\infty} =\frac{410-435}{295-435} =\frac{-25}{-140} \approx0{,}1786.

Passo 5

Para superfície a temperatura constante, o primeiro termo da série dá
\theta\approx\frac{4}{\pi} \exp\!\Bigl(-\tfrac{\pi^2\,\alpha\,t}{4\,L^2}\Bigr).
Logo,
\exp\!\Bigl(-\tfrac{\pi^2\alpha t}{4L^2}\Bigr) =\frac{\pi}{4}\,\theta =\frac{\pi}{4}\times0{,}1786 \approx0{,}1403.
Tomando logaritmo,
-\frac{\pi^2\alpha\,t}{4L^2} =\ln(0{,}1403) \approx-1{,}9602 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\alpha\,t}{L^2} =\frac{4\times1{,}9602}{\pi^2} \approx0{,}795.

Passo 6

Desse modo o tempo é
t=\frac{0{,}795\,L^2}{\alpha} =\frac{0{,}795\times(0{,}015)^2}{6{,}19\times10^{-8}} \approx2{,}9\times10^3\\ \mathrm s \approx48\\ \mathrm{min}.

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente 2{,}9\times10^3\\ \mathrm s, isto é, cerca de 48 minutos.

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