17^{\circ} ) Determine a derivada direcional das funções abaixo no ponto P dado e na direção indicada.
f(x, y, z)=x y^{3} z^{2} ; P(3,-1,2) ; \vec{a}=i-2 j+3 k

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y,z)=x\,y^{3}\,z^{2} no ponto P=(3,-1,2) na direção do vetor \vec{a}=\mathbf{i}-2\,\mathbf{j}+3\,\mathbf{k}.
O conteúdo necessário é o conceito de gradiente e a definição
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u},
onde \mathbf{u} é o vetor unitário na direção de \vec{a}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}(x\,y^{3}\,z^{2}) = y^{3}\,z^{2},\quad f_y = 3\,x\,y^{2}\,z^{2},\quad f_z = 2\,x\,y^{3}\,z.

Passo 3

Avaliando em P=(3,-1,2):
f_x(3,-1,2)=(-1)^{3}\cdot 2^{2}=-4,
f_y(3,-1,2)=3\cdot 3\cdot(-1)^{2}\cdot 2^{2}=36,
f_z(3,-1,2)=2\cdot 3\cdot(-1)^{3}\cdot 2=-12.
Logo
\nabla f(3,-1,2)=(-4,\;36,\;-12).

Passo 4

Calculamos o vetor unitário na direção de \vec{a}=(1,-2,3):
\|\vec{a}\|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}=\sqrt{14},
\mathbf{u}=\frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|}=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{14}},\,\tfrac{-2}{\sqrt{14}},\,\tfrac{3}{\sqrt{14}}\Bigr).

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar \nabla f(P)\cdot \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(3,-1,2) =\bigl(-4,\,36,\,-12\bigr)\cdot\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{14}},\,\tfrac{-2}{\sqrt{14}},\,\tfrac{3}{\sqrt{14}}\Bigr) =\frac{-4 -72 -36}{\sqrt{14}} =\frac{-112}{\sqrt{14}} =-8\sqrt{14}.

Resposta

D_{\mathbf{u}}f(3,-1,2)=-8\sqrt{14}.

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