B.7.18 Considere o sistema de controle com realimentação unitária com a seguinte função de transferência de malha aberta G(s) :
G(s)=\frac{K(s+2)}{s(s+1)(s+10)}
Desenhe o diagrama de Nyquist de G(s) para K=1,10 e 100.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência de malha aberta
\displaystyle G(s)=\frac{K\,(s+2)}{s\,(s+1)\,(s+10)}
e pede o diagrama de Nyquist de G(j\omega) para K=1, 10 e 100.
O conteúdo aqui é traçar o locus de G(j\omega) no plano complexo quando \omega varia de 0 a \infty, e ver como o ganho K “esticará” esse traço radialmente.

Passo 2

Calculemos primeiro G(j\omega) em termos de parte real e imaginária. Denote
D(j\omega)=j\omega\,(j\omega+1)\,(j\omega+10) = A(\omega)+j\,B(\omega)
onde
A(\omega)=-11\,\omega^2,\quad B(\omega)=10\,\omega-\omega^3.
Então
G(j\omega) =\frac{K\,(2+j\omega)}{A+jB} =\frac{K\bigl[(2A+\omega B)+j\,(\,\omega A-2B)\bigr]}{A^2+B^2}.
Logo
\Re\{G(j\omega)\} =\frac{K\,(2A+\omega B)}{A^2+B^2},\qquad \Im\{G(j\omega)\} =\frac{K\,(\omega A-2B)}{A^2+B^2}.

Passo 3

Estudamos os extremos de \omega:
  • Para \omega\to0^+, A\approx0, B\approx10\omega,
G(j\omega)\approx \frac{K\,(2)}{j\,\omega\cdot10} =-j\,\frac{K}{5\,\omega}\to -j\,\infty.
O traço começa em -j\infty.
  • Para \omega\to\infty,
G(j\omega)\approx\frac{K\,j\omega}{(j\omega)^3} =-\frac{K}{\omega^2}\to 0^{-}\text{ (eixo real negativo).}
O traço termina em 0 vindo do lado real negativo.
Portanto, para qualquer K, o Nyquist vai do ponto -j\infty, sobe (em março de terceiro quadrante), curva-se para a esquerda e retorna ao ponto 0 no eixo real negativo.

Passo 4

Para caracterizar a forma, avaliemos alguns pontos típicos \omega=0.1,1,10 com K=1. Depois multiplicamos por K=10 e 100. Os valores aproximados de G(j\omega) são:
\begin{array}{c|cc|cc|cc} \omega&\Re\{G(j\omega)\}_{K=1}&\Im\{G(j\omega)\}_{K=1} &\Re\{G(j\omega)\}_{K=10}&\Im\{G(j\omega)\}_{K=10} &\Re\{G(j\omega)\}_{K=100}&\Im\{G(j\omega)\}_{K=100}\\hline 0.1 & -0{,}12 & -1{,}99 & -1{,}2 & -19{,}9 & -12 & -199\\\\ 1 & -0{,}064& -0{,}144 & -0{,}64 & -1{,}44 & -6{,}4& -14{,}4\\\\ 10 & -0{,}00082 & -0{,}0093 & -0{,}0082 & -0{,}093 & -0{,}082& -0{,}93 \end{array}
Isso mostra que, conforme K cresce, o traço se afasta radialmente do zero, mas mantém o mesmo formato.

Passo 5

Descrição do esboço do Nyquist:
  • Trace o eixo real horizontal e o eixo imaginário vertical.
  • Marque a direção de \omega começando em -j\infty, vindo de baixo do eixo imaginário.
  • O traço entra no terceiro quadrante, passa perto de (-0{,}064,-0{,}144) quando \omega=1 (para K=1), e curva-se suavemente em direção a 0 no eixo real negativo.
  • Para K=10, o mesmo traçado é esticado de modo que o ponto correspondente a \omega=1 situa-se em (-0{,}64,-1{,}44).
  • Para K=100, esse mesmo formato atinge (-6{,}4,-14{,}4) em \omega=1.
  • Em \omega\to\infty, todos os três traços convergem a 0 pelo lado esquerdo do eixo real.
Assim, no diagrama sobreposto, você verá três curvas idênticas em forma, mas com escalas radiais diferentes, todas ligando -j\infty a 0^{-}.

Resposta

O diagrama de Nyquist de G(s) para K=1,10,100 consiste em três curvas no terceiro quadrante partindo de -j\infty e terminando em 0 no eixo real negativo, todas com o mesmo formato mas “esticadas” radialmente pelos valores de K.

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