B.7.23 Considere o sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é
G(s)=\frac{a s+1}{s^{2}}
Determine o valor de a de forma que a margem de fase seja 45^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência de malha aberta
G(s)=\frac{a\,s+1}{s^{2}}
em realimentação unitária e pede o valor de a para que a margem de fase seja 45^\circ. Vamos usar a definição de margem de fase, que é
\text{PM}=180^\circ+\angle L(j\omega_{gc})
onde \omega_{gc} é a frequência de cruzamento de ganho (ou seja, |L(j\omega_{gc})|=1).

Passo 2

Calculamos o ângulo de L(j\omega), onde
L(j\omega)=\frac{a\,(j\omega)+1}{(j\omega)^2}\,.
O numerador tem ângulo
\angle\bigl(a\,j\omega+1\bigr)=\arctan\bigl(\tfrac{\Im}{\Re}\bigr) =\arctan(a\,\omega)\,,
e o denominador (j\omega)^2 contribui com -180^\circ. Logo
\angle L(j\omega)=\arctan(a\,\omega)-180^\circ\,.

Passo 3

Para ter \text{PM}=45^\circ, precisamos de
\angle L(j\omega_{gc})=-180^\circ+45^\circ=-135^\circ.
Assim
\arctan\bigl(a\,\omega_{gc}\bigr)-180^\circ=-135^\circ \quad\Longrightarrow\quad \arctan\bigl(a\,\omega_{gc}\bigr)=45^\circ \quad\Longrightarrow\quad a\,\omega_{gc}=1 \quad\Longrightarrow\quad \omega_{gc}=\tfrac1a.

Passo 4

Na frequência \omega_{gc} a condição de cruzamento de ganho é |L(j\omega_{gc})|=1. Calculamos
|L(j\omega)|=\frac{\bigl|a\,j\omega+1\bigr|}{\omega^2} =\frac{\sqrt{1+(a\,\omega)^2}}{\omega^2}.
Em \omega_{gc} temos a\,\omega_{gc}=1, portanto
|L(j\omega_{gc})| =\frac{\sqrt{1+1}}{\omega_{gc}^2} =\frac{\sqrt2}{\omega_{gc}^2} \stackrel{!}{=}1 \quad\Longrightarrow\quad \omega_{gc}^2=\sqrt2 \quad\Longrightarrow\quad \omega_{gc}=2^{1/4}.
Mas também \omega_{gc}=1/a, logo
\frac1a=2^{1/4} \quad\Longrightarrow\quad a=2^{-1/4}.

Resposta

a=2^{-1/4}\approx0,84.

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