1.18 O indutor do Problema 1.17 deve operar com uma fonte de tensão de 60 Hz .
(a) Supondo uma resistência de bobina desprezível, calcule a tensão eficaz no indutor que corresponde a uma densidade de fluxo de pico no núcleo de 1,5 \mathrm{~T}.

Passo 1

O enunciado dado contém estas informações:
  • A fonte de tensão tem frequência 60\\ \mathrm{Hz}.
  • A densidade de fluxo magnético pico no núcleo é \;B_{\text{peak}}=1{,}5\\ \mathrm{T}.
  • A resistência ôhmica da bobina é desprezível (ou seja, estamos interessados apenas na tensão induzida pela variação do fluxo).
O enunciado faz uma única pergunta (parte (a)):
  • Calcular a tensão eficaz (rms) no indutor correspondente a \;B_{\text{peak}}=1{,}5\\ \mathrm{T} quando a fonte é 60\\ \mathrm{Hz}.
Informação importante que falta (necessária para um valor numérico):
  • O número de espiras \;N da bobina não foi fornecido.
  • A área da seção transversal do núcleo \;A (em \mathrm{m}^2) também não foi fornecida.
Sem \;N e \;A não é possível obter um valor numérico para a tensão eficaz. Abaixo eu mostro passo a passo a teoria e a fórmula que se usa; com essa fórmula é direto inserir \;N e \;A (se vierem do Problema 1.17) e obter o valor numérico.

Passo 2

Conceitos físicos e fórmulas básicas que usaremos (aula rápida e prática):
  • Fluxo magnético \Phi através do núcleo é o produto da densidade de fluxo B pela área da seção transversal A:
\Phi(t)=B(t)\,A.
Aqui \Phi tem unidades de weber ( \mathrm{Wb}), B em tesla ( \mathrm{T}), A em \mathrm{m}^2.
  • Lei de Faraday (valor instantâneo da força eletromotriz induzida em uma bobina de N espiras):
e(t)=-N\,\frac{d\Phi(t)}{dt} = -N\,A\,\frac{dB(t)}{dt}.
O sinal menos é a lei de Lenz (direção da tensão), mas para magnitudes podemos considerar |e(t)| = N A \left|\dfrac{dB}{dt}\right|.
  • Se B(t) é senoidal, por exemplo \;B(t)=B_{\text{peak}}\sin(\omega t), então podemos derivar e(t) e obter amplitude e valor eficaz da tensão induzida.

Passo 3

Modelando B(t) como seno (caso usual em corrente alternada):
  • A pulsação angular é \omega = 2\pi f. Para f=60\\ \mathrm{Hz},
\omega = 2\pi\cdot 60.
  • Supondo B(t)=B_{\text{peak}}\sin(\omega t), calculamos a derivada:
\frac{dB}{dt} = \omega B_{\text{peak}} \cos(\omega t).
  • Substituindo em Faraday (módulo da tensão instantânea):
e(t) = N A \omega B_{\text{peak}} \cos(\omega t).

Passo 4

Obter amplitude de pico e valor eficaz:
  • A amplitude (valor de pico) da tensão induzida é
E_{\text{peak}} = N A \omega B_{\text{peak}}.
  • O valor eficaz (rms) para uma onda senoidal é E_{\text{rms}} = E_{\text{peak}}/\sqrt{2}. Então
E_{\text{rms}} = \frac{N A \omega B_{\text{peak}}}{\sqrt{2}}.
  • Substituindo \omega = 2\pi f fica
E_{\text{rms}} = \frac{N A (2\pi f) B_{\text{peak}}}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Simplificar a constante numérica (fator clássico 4{,}44):
  • Note que \dfrac{2\pi}{\sqrt{2}} = 2\pi/\sqrt{2} \approx 4{,}44288. Por convenção costuma-se usar o valor arredondado 4{,}44.
  • Assim a fórmula prática e muito usada é
E_{\text{rms}} = 4{,}44\; f\; N\; A\; B_{\text{peak}}.
Aqui:
  • E_{\text{rms}} está em volts se f estiver em hertz, A em metros quadrados, B_{\text{peak}} em tesla e N adimensional.
  • Essa fórmula vale para fluxo fundamental senoidal e densidade de fluxo máxima B_{\text{peak}}.

Passo 6

Aplicando os números conhecidos (só inserindo f e B_{\text{peak}}; \;N e \;A permanecem símbolos):
  • Com f=60\\ \mathrm{Hz} e B_{\text{peak}}=1{,}5\\ \mathrm{T} obtemos
E_{\text{rms}} = 4{,}44 \cdot 60 \cdot N \cdot A \cdot 1{,}5.
  • Fazendo a multiplicação dos termos numéricos:
4{,}44\cdot 60\cdot 1{,}5 = 399{,}6.
Portanto
E_{\text{rms}} = 399{,}6\; N\; A \qquad(\text{volts}),
onde A deve estar em \mathrm{m}^2.
Observação pedagógica: assim que você souber o número de espiras \;N e a área \;A fornecidos no Problema 1.17, basta substituir e obter o valor em volts. Por exemplo (apenas ilustrativo): se N=200 e A=5\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2, então E_{\text{rms}}=399{,}6\cdot 200\cdot 5\times10^{-4}=39{,}96\\ \mathrm{V}.

Passo 7

Outras observações importantes para a prova (dicas práticas):
  • Certifique-se de usar B_{\text{peak}} (pico) na fórmula; às vezes o enunciado dá B_{\text{rms}}. Para seno, B_{\text{rms}}=B_{\text{peak}}/\sqrt{2}.
  • Unidade: A em \mathrm{m}^2 — se a área for dada em \mathrm{cm}^2 ou \mathrm{mm}^2, converter antes.
  • O fator 4{,}44 vem da combinação (2\pi)/\sqrt{2} e aparece frequentemente em problemas de transformadores/indutores com fluxo senoidal.
  • A tensão calculada é a tensão induzida ideal; perdas, resistência de fio e não linearidades do núcleo (saturação) podem tornar a tensão real diferente. Para a prova, use a fórmula ideal a menos que peçam correções.

Resposta

E_{\mathrm{rms}} = 4{,}44\; f\; N\; A\; B_{\text{peak}}

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