Questão 5
Determine os fasores correspondentes aos seguintes sinais
b) i(t)=-8 \operatorname{sen}\left(10 t+70^{\circ}\right) m A
r) n(t)=120 con \left(10 t-50^{\circ}\right) \mathrm{V}

Passo 1

O enunciado pede: “Determine os fasores correspondentes aos seguintes sinais”. As grandezas fornecidas são (peguei diretamente do enunciado):
  • i(t) = -8 \operatorname{sen}\bigl(10t + 70^\circ\bigr)\\ \mathrm{mA}.
  • n(t) = 120\\ \operatorname{con}\bigl(10t - 50^\circ\bigr)\\ \mathrm{V}.
    Observação sobre o segundo: interpreto \operatorname{con} como \cos (cosseno).
    O objetivo é escrever, para cada sinal, o fasor complexo que representa a amplitude (e fase) da grandeza senoidal em regime permanente.

Passo 2

O que é um fasor e qual convenção vou usar (explicando com calma):
  • Um sinal senoidal de referência costuma ser escrito como
x(t)=X_m\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
onde:
  • X_m é a amplitude de pico (valor máximo),
  • \omega é a pulsação (rad/s),
  • \varphi é a fase (graus ou radianos).
  • O fasor associado é o número complexo (em forma polar) que contém a amplitude e a fase:
X = X_m\angle\varphi.
Isto é, o fasor guarda a amplitude de pico e a fase, e omite a dependência temporal \cos(\omega t+\varphi). Em muitas disciplinas também se usa o fasor em valor eficaz (RMS): X_{\mathrm{rms}} = \dfrac{X_m}{\sqrt{2}}\angle\varphi. Aqui vou apresentar os fasores em amplitude de pico (convenção mais direta) e indicar a forma retangular quando relevante.
  • Como lidar com seno e cosseno: usar identidade
\sin(\theta)=\cos\bigl(\theta-90^\circ\bigr).
Portanto qualquer \sin(\omega t+\alpha) pode ser escrito como cosseno com fase deslocada: \cos(\omega t+\alpha-90^\circ). Também o sinal negativo introduz um deslocamento de fase de 180^\circ: -A\sin(\cdot)=A\sin(\cdot+180^\circ). Vou combinar essas identidades para passar cada sinal para a forma X_m\cos(\omega t+\varphi) e daí extrair o fasor X_m\angle\varphi.

Passo 3

Converter i(t)= -8\sin\bigl(10t+70^\circ\bigr)\\ \mathrm{mA} para a forma em cosseno e extrair o fasor:
  • Primeiro usar a identidade para o seno:
\sin\bigl(10t+70^\circ\bigr)=\cos\bigl(10t+70^\circ-90^\circ\bigr)=\cos\bigl(10t-20^\circ\bigr).
  • Então
i(t)=-8\sin\bigl(10t+70^\circ\bigr)=-8\cos\bigl(10t-20^\circ\bigr).
  • O negativo pode ser tratado como adição de 180^\circ à fase:
-8\cos\bigl(10t-20^\circ\bigr)=8\cos\bigl(10t-20^\circ+180^\circ\bigr)=8\cos\bigl(10t+160^\circ\bigr).
  • Assim, na forma X_m\cos(\omega t+\varphi) temos X_m=8 (mA) e \varphi=160^\circ. Portanto o fasor (amplitude de pico, referência cosseno) é
I = 8\angle160^\circ\\ \mathrm{mA}.
  • Se quiser a forma retangular (útil em cálculos): calcular \cos160^\circ e \sin160^\circ.
\cos160^\circ \approx -0{,}9397,\qquad \sin160^\circ \approx 0{,}3420,
logo
I \approx 8\bigl(-0{,}9397 + j\,0{,}3420\bigr)\\ \mathrm{mA}\approx -7{,}518 + j\,2{,}736\\ \mathrm{mA}.
(Dica prática: na prova normalmente basta a forma polar 8\angle160^\circ\\ \mathrm{mA}.)

Passo 4

Converter n(t)=120\cos\bigl(10t-50^\circ\bigr)\\ \mathrm{V} para o fasor:
  • Este já está na forma X_m\cos(\omega t+\varphi) com X_m=120 (V) e \varphi=-50^\circ.
  • Logo o fasor é simplesmente
N = 120\angle(-50^\circ)\\ \mathrm{V}.
  • Forma retangular (opcional): \cos(-50^\circ)=\cos50^\circ\approx0{,}6428 e \sin(-50^\circ)=-\sin50^\circ\approx-0{,}7660. Então
N \approx 120\bigl(0{,}6428 - j\,0{,}7660\bigr)\\ \mathrm{V}\approx 77{,}14 - j\,91{,}92\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Resumo prático e dicas para a prova:
  • Sempre transforme senos em cossenos com a identidade \sin(\theta)=\cos(\theta-90^\circ) ou trate o sinal negativo como +180^\circ na fase; isso evita confusão de sinal.
  • Extraia amplitude e fase da forma X_m\cos(\omega t+\varphi); o fasor é X_m\angle\varphi (ou X_m/\sqrt{2}\angle\varphi se pedirem RMS).
  • Para operações com fasores (adição, multiplicação por impedâncias, etc.) use a forma retangular quando somar, e polar quando multiplicar/dividir — mas para responder só a conversão polar é suficiente.

Resposta

I = 8\angle160^\circ\\ \mathrm{mA}
N = 120\angle(-50^\circ)\\ \mathrm{V}

Exercícios relacionados