2-18 A pump is used to transport water to a higher reservoir. If the water temperature is 25^{\circ} \mathrm{C}, determine the lowest pressure that can exist in the pump without cavitation.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura da água 25^\circ\mathrm{C} e pede: qual é a menor pressão que pode existir no interior da bomba sem ocorrer cavitação. Informações relevantes que ficam claras: a temperatura T=25^\circ\mathrm{C} e que o que limita a pressão é a tendência da água de vaporizar quando a pressão local atinge a pressão de vapor, ou seja, precisamos do valor da pressão de vapor da água a 25^\circ\mathrm{C}. Não há outros dados numéricos no enunciado.

Passo 2

O que é cavitação e qual o critério matemático simples que vamos usar. Cavitação ocorre quando a pressão local do líquido cai até a pressão de vapor (ou abaixo dela) àquela temperatura; bolhas de vapor se formam e depois implodem, danificando a bomba. Portanto, o critério para evitar cavitação é
p_{\text{local}} \ge p_{\text{vapor}}(T).
Aqui \;p_{\text{local}}\; é a pressão absoluta no ponto mais crítico da bomba e \;p_{\text{vapor}}(T)\; é a pressão de vapor saturado da água à temperatura T. Logo, a menor pressão absoluta admissível sem cavitação é exatamente a pressão de vapor saturado à temperatura dada:
p_{\min}=p_{\text{vapor}}(25^\circ\mathrm{C}).

Passo 3

Como obter p_{\text{vapor}}(25^\circ\mathrm{C}). Podemos usar uma tabela de vapor (tabela de propriedades da água) ou uma fórmula empírica como a equação de Antoine. Vou usar a equação de Antoine (fácil de aplicar com lápis e papel); ela dá a pressão em mmHg a partir da temperatura em ^\circ\mathrm{C}:
\log_{10} p_{\text{mmHg}} = A - \frac{B}{C + T}
onde p_{\text{mmHg}} é a pressão de vapor em mmHg e A, B, C são constantes empíricas. Para água (intervalo aproximado 1^\circ\mathrm{C} a 100^\circ\mathrm{C}) podemos usar:
A = 8{,}07131,\quad B = 1730{,}63,\quad C = 233{,}426.
Expliquei as variáveis: T é a temperatura em ^\circ\mathrm{C}; \log_{10} é o logaritmo decimal; o resultado é p em mmHg. Depois converto mmHg para kPa usando 1\\ \text{mmHg}=0{,}133322\\ \text{kPa}.

Passo 4

Aplicando a equação de Antoine passo a passo para T=25^\circ\mathrm{C}.
Calculo o denominador:
C+T = 233{,}426 + 25 = 258{,}426.
Calculo a fração:
\frac{B}{C+T} = \frac{1730{,}63}{258{,}426}\approx 6{,}6964.
Agora o logaritmo:
\log_{10} p_{\text{mmHg}} = 8{,}07131 - 6{,}6964 \approx 1{,}37491.
Passo do logaritmo para a pressão em mmHg:
p_{\text{mmHg}} = 10^{1{,}37491}\approx 23{,}73\\ \text{mmHg}.

Passo 5

Converter p_{\text{mmHg}} para kPa (unidade mais usada em hidráulica). Usando 1\\ \text{mmHg}=0{,}133322\\ \text{kPa}:
p_{\text{vapor}} = 23{,}73\times 0{,}133322\\ \text{kPa}\approx 3{,}17\\ \text{kPa}.
Em pascais isso é
p_{\text{vapor}}\approx 3{,}17\times 10^{3}\\ \text{Pa}\approx 3169\\ \text{Pa}.

Passo 6

Interpretação prática (útil na prova): a pressão mínima permitida é muito pequena em relação à atmosfera; em termos de coluna de água essa pressão corresponde a uma pequena altura h dada por
h=\frac{p}{\rho g},
onde \rho é a densidade da água ( \rho\approx 1000\\ \text{kg}\,\text{m}^{-3}) e g\approx 9{,}81\\ \text{m}\,\text{s}^{-2}. Então
h=\frac{3169}{1000\cdot 9{,}81}\\ \text{m}\approx 0{,}323\\ \text{m}.
Isso mostra por que é fácil cavitar: uma queda de apenas cerca de 0{,}32\\ \text{m} de coluna d’água (ou pequena sucção) já leva à pressão de vapor.

Passo 7

Observação sobre pressão absoluta vs. manométrica: o valor calculado p_{\min} é uma pressão absoluta. Se você precisar do valor em pressão manométrica (relativa à atmosfera), subtraia a pressão atmosférica padrão \;p_{\text{atm}}\approx 101{,}325\\ \text{kPa}\;:
p_{\text{gauge}} = p_{\min} - p_{\text{atm}} \approx 3{,}17 - 101{,}325 \approx -98{,}16\\ \text{kPa},
ou seja, um vácuo grande em termos de pressão manométrica — normalmente em problemas de bombas usamos a pressão absoluta ao aplicar o critério de cavitação.

Resposta

p_{\min}=p_{\text{vapor}}(25^\circ\mathrm{C})\approx 3{,}17\\ \text{kPa} (absoluta)
p_{\min}\approx 3{,}17\times 10^{3}\\ \text{Pa}
Corresponde a uma coluna de água h\approx 0{,}323\\ \text{m}

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