2-18 A pump is used to transport water to a higher reservoir. If the water temperature is
, determine the lowest pressure that can exist in the pump without cavitation.
Passo 1
O enunciado dá a temperatura da água
e pede: qual é a menor pressão que pode existir no interior da bomba sem ocorrer cavitação. Informações relevantes que ficam claras: a temperatura
e que o que limita a pressão é a tendência da água de vaporizar quando a pressão local atinge a pressão de vapor, ou seja, precisamos do valor da pressão de vapor da água a
. Não há outros dados numéricos no enunciado.
Passo 2
O que é cavitação e qual o critério matemático simples que vamos usar. Cavitação ocorre quando a pressão local do líquido cai até a pressão de vapor (ou abaixo dela) àquela temperatura; bolhas de vapor se formam e depois implodem, danificando a bomba. Portanto, o critério para evitar cavitação é
Aqui
é a pressão absoluta no ponto mais crítico da bomba e
é a pressão de vapor saturado da água à temperatura
. Logo, a menor pressão absoluta admissível sem cavitação é exatamente a pressão de vapor saturado à temperatura dada:
Passo 3
Como obter
. Podemos usar uma tabela de vapor (tabela de propriedades da água) ou uma fórmula empírica como a equação de Antoine. Vou usar a equação de Antoine (fácil de aplicar com lápis e papel); ela dá a pressão em mmHg a partir da temperatura em
:
onde
é a pressão de vapor em mmHg e
,
,
são constantes empíricas. Para água (intervalo aproximado
a
) podemos usar:
Expliquei as variáveis:
é a temperatura em
;
é o logaritmo decimal; o resultado é
em mmHg. Depois converto mmHg para kPa usando
.
Passo 4
Aplicando a equação de Antoine passo a passo para
.
Calculo o denominador:
Calculo o denominador:
Calculo a fração:
Agora o logaritmo:
Passo do logaritmo para a pressão em mmHg:
Passo 5
Converter
para kPa (unidade mais usada em hidráulica). Usando
:
Em pascais isso é
Passo 6
Interpretação prática (útil na prova): a pressão mínima permitida é muito pequena em relação à atmosfera; em termos de coluna de água essa pressão corresponde a uma pequena altura
dada por
onde
é a densidade da água (
) e
. Então
Isso mostra por que é fácil cavitar: uma queda de apenas cerca de
de coluna d’água (ou pequena sucção) já leva à pressão de vapor.
Passo 7
Observação sobre pressão absoluta vs. manométrica: o valor calculado
é uma pressão absoluta. Se você precisar do valor em pressão manométrica (relativa à atmosfera), subtraia a pressão atmosférica padrão
:
ou seja, um vácuo grande em termos de pressão manométrica — normalmente em problemas de bombas usamos a pressão absoluta ao aplicar o critério de cavitação.
Resposta
Corresponde a uma coluna de água