18 Quantos números inteiros entre 1 e 10.000 têm soma dos dígitos igual a 12 ?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos inteiros entre 1 e 10000 têm soma dos dígitos igual a 12?” O conteúdo aqui é combinatória de soluções inteiras não negativas com restrição de máximo por variável (cada dígito vai de 0 a 9). Vamos modelar cada número como um vetor de dígitos e usar estrelas-e-barras + inclusão-exclusão para contar as soluções.

Passo 2

Qualquer inteiro de 0 a 9999 (que cobre 1 a 9999) pode ser escrito como quatro dígitos (d_1,d_2,d_3,d_4), com
0 \le d_i \le 9
e queremos
d_1 + d_2 + d_3 + d_4 = 12.
O caso 10000 tem soma de dígitos igual a 1, então não entra no total.

Passo 3

Primeiro contamos sem considerar o teto d_i\le9. O número de soluções não negativas de
d_1 + d_2 + d_3 + d_4 = 12
é, por estrelas-e-barras,
\binom{12 + 4 - 1}{4 - 1} \;=\; \binom{15}{3} \;=\; 455.

Passo 4

Agora corrigimos pelo fato de cada d_i não poder exceder 9. Para um dígito fixo d_i violar, teríamos d_i \ge 10. Definindo d_i' = d_i - 10\ge0, a soma passa a ser
d_i' + \sum_{j\neq i} d_j = 12 - 10 = 2,
cujo número de soluções não negativas é
\binom{2 + 4 - 1}{4 - 1} \;=\; \binom{5}{3} \;=\; 10.
Como há 4 escolhas de qual dígito viola, o total de soluções inválidas (com pelo menos um d_i\ge10) é
4 \times 10 = 40.
Não há interseção de dois dígitos violando simultaneamente, pois isso exigiria soma mínima 20>12.

Passo 5

Subtraindo as soluções inválidas do total sem teto, obtemos o número desejado:
455 - 40 = 415.

Resposta

415

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